پنج بار در چشم
در پایان سال 2020، چندین رویداد در دانشگاه ها و مدارس برگزار شد که از ... مارس به تعویق افتاد. یکی از آنها "جشن" روز پی بود. به همین مناسبت، در 8 دسامبر، یک سخنرانی از راه دور در دانشگاه سیلسیا ارائه کردم و این مقاله خلاصه ای از سخنرانی است. کل مهمانی ساعت 9.42 شروع شد و سخنرانی من برای ساعت 10.28 برنامه ریزی شده است. چنین دقتی از کجا می آید؟ ساده است: 3 ضربدر پی حدود 9,42 است، و π به توان دوم حدود 2 است، و ساعت 9,88 تا توان 9، 88 به توان 10 است.
رسم بزرگداشت این عدد، نسبت محیط دایره به قطر آن را بیان می کند و گاهی ثابت ارشمیدس نامیده می شود (و همچنین در فرهنگ های آلمانی زبان)، از ایالات متحده آمریکا می آید (همچنین ببینید: ). 3.14 مارس "سبک آمریکایی" در 22:22، از این رو ایده. معادل لهستانی می تواند 7 ژوئیه باشد، زیرا کسر 14/XNUMX به خوبی π را تقریب می زند، که … ارشمیدس قبلاً می دانست. خوب، مارس XNUMX بهترین زمان برای رویدادهای جانبی است.
این سه و چهاردهم یکی از معدود پیام های ریاضی است که تا آخر عمر از مدرسه با ما مانده است. همه می دانند این یعنی چه"پنج بار در چشم". آنقدر در زبان جا افتاده است که بیان متفاوت و با همان لطف دشوار است. وقتی از تعمیرگاه ماشین پرسیدم هزینه تعمیر چقدر است، مکانیک در مورد آن فکر کرد و گفت: "پنج برابر حدود هشتصد زلوتی." تصمیم گرفتم از این موقعیت استفاده کنم. "منظور شما یک تقریب تقریبی است؟" مکانیک باید فکر می‌کرد که من اشتباه شنیده‌ام، بنابراین تکرار کرد: «دقیقاً نمی‌دانم چقدر است، اما پنج برابر یک چشم ۸۰۰ می‌شود.»
.
در مورد چیست؟ املای قبل از جنگ جهانی دوم با هم از "نه" استفاده می کرد و من آن را همانجا گذاشتم. ما در اینجا با شعر بی جهت فاخر سروکار نداریم، اگرچه من این ایده را دوست دارم که "کشتی طلایی شادی را پمپاژ می کند." از دانش آموزان بپرسید: این فکر به چه معناست؟ اما ارزش این متن جای دیگری است. تعداد حروف در کلمات زیر ارقام پسوند pi است. اجازه بدید ببینم:
π ≈ 3,141592،653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117
در سال 1596 دانشمند هلندی الاصل آلمانی لودولف ون سولن مقدار پی را تا 35 رقم اعشار محاسبه کرد. سپس این چهره ها بر روی قبر او حک شد. او شعری را به شماره پی و برنده جایزه نوبل ما تقدیم کرد. ویسلوا شیمبورسکا. شیمبورسکا مجذوب عدم تناوبی این عدد و این واقعیت بود که با احتمال 1 هر دنباله از ارقام، مانند شماره تلفن ما، در آنجا رخ می دهد. در حالی که ویژگی اول ذاتی در هر عدد غیر منطقی است (که باید از مدرسه به خاطر بسپاریم)، دومی یک واقعیت ریاضی جالب است که اثبات آن دشوار است. حتی می‌توانید برنامه‌هایی را پیدا کنید که ارائه می‌دهند: شماره تلفن خود را به من بدهید و من به شما می‌گویم که در پی کجاست.
جایی که گردی هست، خواب هم هست. اگر دریاچه ای گرد داشته باشیم، پیاده روی در اطراف آن 1,57 برابر طولانی تر از شنا کردن است. البته این بدان معنا نیست که ما یک و نیم تا دو برابر کندتر از آنچه که می گذریم شنا خواهیم کرد. من رکورد جهانی 100 متر را با رکورد 100 متر جهان به اشتراک گذاشتم. جالب اینجاست که در زنان و مردان نتیجه تقریباً یکسان است و 4,9 است. ما 5 برابر کندتر از دویدن شنا می کنیم. قایقرانی کاملاً متفاوت است - اما یک چالش جالب. یک خط داستانی نسبتا طولانی دارد.
با فرار از شرور تعقیب کننده، خوش تیپ و نجیب Good One با کشتی به سمت دریاچه رفت. شرور در امتداد ساحل می دود و منتظر می ماند تا او را به زمین بیاورد. البته او سریعتر از ردیف های دوبری می دود و اگر آرام بدود دوبری سریعتر است. بنابراین تنها شانس ایول این است که خوب را از ساحل دریافت کند - شلیک دقیق از یک هفت تیر یک گزینه نیست، زیرا. خیر اطلاعات ارزشمندی دارد که شیطان می خواهد بداند.
خوب به استراتژی زیر پایبند است. او در سراسر دریاچه شنا می کند، به تدریج به ساحل نزدیک می شود، اما همیشه سعی می کند در طرف مقابل شیطان قرار گیرد، که به طور تصادفی به سمت چپ و سپس به راست می دود. این در شکل نشان داده شده است. بگذارید موقعیت شروع شیطان Z باشد1و دوبره وسط دریاچه است. وقتی Zly به Z منتقل می شود1، دوبرو به D.1وقتی Bad در Z است2، خوب در D2. به صورت زیگزاگی جریان خواهد داشت، اما با رعایت این قانون: تا جایی که ممکن است از Z. اما با دور شدن از مرکز دریاچه، Good باید در دایره های بزرگتر و بزرگتر حرکت کند، و در برخی موارد نمی تواند به اصل "در آن سوی شر بودن" پایبند باشید. سپس با تمام توان به سمت ساحل پارو زد، به این امید که شیطان از دریاچه عبور نکند. آیا خوب موفق خواهد شد؟
پاسخ بستگی به این دارد که Good می تواند با چه سرعتی نسبت به ارزش پاهای بد پارو بزند. فرض کنید که مرد بد با سرعت s برابر سرعت مرد خوب روی دریاچه می دود. بنابراین، بزرگ‌ترین دایره‌ای که خیر می‌تواند روی آن پارو بزند تا در برابر شر مقاومت کند، شعاع آن یک برابر کوچک‌تر از شعاع دریاچه است. بنابراین، در نقاشی داریم. در نقطه W، نوع ما شروع به پارو زدن به سمت ساحل می کند. این باید برود
با سرعت
او به زمان نیاز دارد.
Wicked تمام بهترین پاهایش را تعقیب می کند. او باید نیمی از دایره را تکمیل کند که بسته به واحدهای انتخاب شده، ثانیه ها یا دقیقه ها طول می کشد. اگر این بیشتر از یک پایان خوش است:
خوبی خواهد رفت. حساب های ساده نشان می دهد که چه چیزی باید باشد. اگر Bad Man سریعتر از 4,14 برابر مرد خوب بدود، پایان خوبی ندارد. و در اینجا نیز عدد پی ما دخالت می کند.
آنچه گرد است زیباست. بیایید به عکس سه بشقاب تزئینی نگاه کنیم - من آنها را بعد از پدر و مادرم دارم. مساحت مثلث منحنی بین آنها چقدر است؟ این یک کار ساده است. جواب در همان عکس است ما تعجب نمی کنیم که در فرمول ظاهر می شود - از این گذشته، جایی که گردی وجود دارد، پی وجود دارد.
من از یک کلمه احتمالاً ناآشنا استفاده کردم:. این نام عدد پی در فرهنگ آلمانی زبان است و همه اینها به لطف هلندی ها (در واقع یک آلمانی که در هلند زندگی می کرد - در آن زمان ملیت مهم نبود) لودولف سئولن... در سال 1596 گرم او 35 رقم از بسط خود را به اعشار محاسبه کرد. این رکورد تا سال 1853 حفظ شد ویلیام رادرفورد تعداد 440 صندلی. رکورددار محاسبات دستی (احتمالا برای همیشه) است. ویلیام شنکسکه پس از سالها کار، منتشر کرد (در سال 1873) گسترش به 702 رقم. فقط در سال 1946، 180 رقم آخر نادرست بود، اما همچنان همینطور باقی ماند. 527 درست است. پیدا کردن خود باگ جالب بود. بلافاصله پس از انتشار نتیجه شانکس، آنها مشکوک شدند که "چیزی اشتباه است" - به طرز مشکوکی چند هفت در حال توسعه وجود داشت. فرضیه هنوز اثبات نشده (دسامبر 2020) بیان می کند که همه اعداد باید با فرکانس یکسان ظاهر شوند. این امر D.T. فرگوسن را بر آن داشت تا در محاسبات شانکس تجدید نظر کند و خطای "یادگیرنده" را بیابد!
بعدها ماشین حساب و کامپیوتر به مردم کمک کردند. رکورددار فعلی (دسامبر 2020) است تیموتی مولیکن (50 تریلیون رقم اعشار). محاسبات ... 303 روز طول کشید. بیایید بازی کنیم: این عدد چقدر فضایی را اشغال می کند که در یک کتاب استاندارد چاپ شده است. تا همین اواخر، "سمت" چاپ شده متن 1800 کاراکتر (30 خط در 60 خط) بود. بیایید تعداد کاراکترها و حاشیه‌های صفحه را کاهش دهیم، 5000 کاراکتر در هر صفحه را جمع کنیم و کتاب‌های 50 صفحه‌ای را چاپ کنیم. بنابراین XNUMX تریلیون شخصیت ده میلیون کتاب می گیرد. بد نیست، درست است؟
سوال این است که هدف چنین مبارزه ای چیست؟ از منظر صرفاً اقتصادی، چرا مالیات دهندگان باید برای چنین «سرگرمی» ریاضیدانان هزینه کنند؟ پاسخ سخت نیست. اولین، از سئولن جاهای خالی برای محاسبات اختراع کرد، سپس برای محاسبات لگاریتمی مفید است. اگر به او گفته می شد: لطفاً جاهای خالی بسازید، پاسخ می داد: چرا؟ به همین ترتیب دستور:. همانطور که می دانید، این کشف کاملا تصادفی نبود، اما با این وجود محصول جانبی تحقیقاتی از نوع متفاوت بود.
دوما بخونیم چی مینویسه تیموتی مولیکن. در اینجا بازتولید آغاز کار او است. پروفسور مولیکان در امنیت سایبری است و پی آنقدر سرگرمی کوچک است که به تازگی سیستم امنیت سایبری جدید خود را روی آن آزمایش کرده است.
و اینکه 3,14159 در مهندسی بیش از حد کافی است، این بحث دیگری است. بیایید یک محاسبه ساده انجام دهیم. مشتری 4,774 مترمتر از خورشید فاصله دارد (ترمتر = 1012 متر). برای محاسبه دور چنین دایره ای با چنین شعاع تا دقت پوچ 1 میلی متر، کافی است π = 3,1415926535897932 را در نظر بگیریم.
عکس زیر یک چهارم دایره آجر لگو را نشان می دهد. من از 1774 پد استفاده کردم و حدود 3,08 پی بود. بهترین نیست، اما چه انتظاری باید داشت؟ یک دایره نمی تواند از مربع تشکیل شود.
دقیقا. عدد پی شناخته شده است دایره مربع - یک مسئله ریاضی که بیش از 2000 سال - از زمان یونان - در انتظار حل آن است. آیا می توانید از قطب نما و خط مستقیم مربعی بسازید که مساحت آن برابر با مساحت دایره داده شده باشد؟
اصطلاح "مربع دایره" به عنوان نمادی از چیزی غیر ممکن وارد زبان گفتاری شده است. کلید را فشار می دهم تا بپرسم آیا این نوعی تلاش برای پر کردن سنگر دشمنی است که شهروندان کشور زیبای ما را از هم جدا می کند؟ اما من قبلاً از این موضوع اجتناب می کنم ، زیرا احتمالاً فقط در ریاضیات احساس می کنم.
و باز هم همان - راه حل مشکل مربع کردن دایره به گونه ای ظاهر نشد که نویسنده راه حل، چارلز لیندمان، در سال 1882 راه اندازی شد و سرانجام موفق شد. تا حدودی بله، اما نتیجه حمله از یک جبهه گسترده بود. ریاضیدانان آموخته اند که اعداد انواع مختلفی دارند. نه تنها اعداد صحیح، گویا (یعنی کسری) و غیر منطقی. غیر قابل اندازه گیری نیز می تواند بهتر یا بدتر باشد. ممکن است از مدرسه به خاطر بیاوریم که عدد غیر منطقی √2 است - عددی که نسبت طول مورب یک مربع به طول ضلع آن را بیان می کند. مانند هر عدد غیر منطقی، پسوند نامعینی دارد. اجازه دهید به شما یادآوری کنم که بسط تناوبی یک ویژگی اعداد گویا است، یعنی. اعداد صحیح خصوصی:
در اینجا دنباله اعداد 142857 به طور نامحدود تکرار می شود. برای √2 این اتفاق نمی افتد - این بخشی از غیر منطقی است. ولی تو می توانی:
(کسری برای همیشه ادامه دارد). ما در اینجا یک الگو را می بینیم، اما از نوع دیگری. Pi حتی آنقدر هم رایج نیست. نمی توان آن را با حل یک معادله جبری به دست آورد - یعنی معادله ای که در آن نه ریشه مربع، نه لگاریتم و نه توابع مثلثاتی وجود دارد. این قبلاً نشان می دهد که قابل ساخت نیست - رسم دایره ها به توابع درجه دوم منجر می شود و خطوط - خطوط مستقیم - به معادلات درجه اول.
شاید من از طرح اصلی منحرف شدم. فقط توسعه همه ریاضیات امکان بازگشت به مبدأ را فراهم کرد - به ریاضیات زیبای باستانی متفکرانی که فرهنگ فکری اروپایی را برای ما ایجاد کردند ، که امروزه توسط برخی بسیار مشکوک است.
از بین بسیاری از الگوهای نماینده، دو مورد را انتخاب کردم. اولین آنها را با نام خانوادگی مرتبط می کنیم گوتفرید ویلهلم لایب نیتس (1646 1716).
اما او را (الگو، نه لایب نیتس) دانشمند هندو ماداوا از سانگاماگرام (1350-1425) می شناختند. انتقال اطلاعات در آن زمان عالی نبود - اتصالات اینترنتی اغلب باگ بودند و باتری برای تلفن های همراه وجود نداشت (زیرا هنوز وسایل الکترونیکی اختراع نشده بودند!). فرمول زیبا است، اما برای محاسبات بی فایده است. از صد ماده، "فقط" 3,15159 به دست می آید.
او کمی بهتر است wzór Viète'a (یکی از معادلات درجه دوم) و فرمول آن به راحتی قابل برنامه ریزی است زیرا عبارت بعدی در حاصل ضرب جذر دوم به علاوه دو قبلی است.
می دانیم که دایره گرد است. می توان گفت که این یک دور 100 درصدی است. ریاضیدان می پرسد: آیا چیزی می تواند 1 درصد دور نباشد؟ ظاهراً این یک oxymoron است، عبارتی حاوی یک تناقض پنهان، مانند، برای مثال، یخ داغ. اما بیایید سعی کنیم اندازه گیری کنیم که شکل ها چقدر می توانند گرد باشند. معلوم می شود که اندازه گیری خوبی با فرمول زیر بدست می آید که در آن S مساحت و L محیط شکل است. بیایید بفهمیم که دایره واقعا گرد است، که سیگما 6 است. مساحت دایره، محیط است. ما ... را وارد می کنیم و می بینیم که چه چیزی درست است. مربع چقدر گرد است؟ محاسبات به همین سادگی است، من حتی آنها را نمی دهم. یک شش ضلعی منظم که در یک دایره با شعاع حک شده است را در نظر بگیرید. محیط به وضوح XNUMX است.
قطب
یک شش ضلعی معمولی چطور؟ محیط آن 6 و مساحت آن است
بنابراین ما داریم
که تقریباً برابر با 0,952 است. شش ضلعی بیش از 95٪ "گرد" است.
هنگام محاسبه گرد بودن یک استادیوم ورزشی نتیجه جالبی به دست می آید. طبق قوانین IAAF، مسیرهای مستقیم و منحنی باید 40 متر طول داشته باشند، اگرچه انحراف مجاز است. به یاد دارم که استادیوم بیسلت در اسلو باریک و طولانی بود. من "بود" را می نویسم زیرا حتی روی آن کار کردم (برای یک آماتور!)، اما بیش از XNUMX سال پیش. بیایید نگاهی بیندازیم:
اگر شعاع قوس 100 متر باشد، شعاع آن قوس متر است. مساحت زمین چمن متر مربع و مساحت خارج از آن (جایی که تخته های پرش وجود دارد) مجموعا متر مربع است. بیایید این را به فرمول وصل کنیم:
پس آیا گرد بودن یک استادیوم ورزشی ربطی به مثلث متساوی الاضلاع دارد؟ زیرا ارتفاع مثلث متساوی الاضلاع برابر است با ضلع. این تصادفی تصادفی از اعداد است، اما خوب است. من این را دوست دارم. و خوانندگان؟
خوب، خوب است که گرد است، اگرچه برخی ممکن است اعتراض کنند زیرا ویروسی که همه ما را تحت تأثیر قرار می دهد گرد است. حداقل اینطوری می کشند.
