جذابیت معکوس

صحبت های زیادی در مورد "جذابیت اضداد" وجود دارد و نه فقط در ریاضیات. به یاد داشته باشید که اعداد متضاد آنهایی هستند که فقط در علامت متفاوت هستند: به علاوه 7 و منهای 7. مجموع اعداد مقابل صفر است. اما برای ما (یعنی ریاضیدانان) موارد متقابل جالب تر است. اگر حاصل ضرب اعداد برابر با 1 باشد، این اعداد معکوس یکدیگر هستند. هر عددی متضاد و هر عدد غیر صفر معکوس خود را دارد. متقابل متقابل بذر است.

وارونگی زمانی اتفاق می افتد که دو کمیت به یکدیگر مرتبط باشند به طوری که اگر یکی افزایش یابد، دیگری با نرخ متناظر کاهش می یابد. «مرتبط» یعنی حاصل ضرب این مقادیر تغییر نمی کند. از مدرسه به یاد داریم: این نسبت معکوس است. اگر بخواهم دو برابر سریعتر به مقصد برسم (یعنی زمان را نصف کنم)، باید سرعتم را دو برابر کنم. اگر حجم یک ظرف آب بندی شده با گاز n برابر کاهش یابد، فشار آن n برابر افزایش می یابد.

در آموزش ابتدایی ما به دقت بین مقایسه های افتراقی و نسبی تمایز قائل می شویم. "چقدر بیشتر"؟ - "چند برابر بیشتر؟"

در اینجا برخی از فعالیت های مدرسه وجود دارد:

شغل 1. از دو مقدار مثبت، اولی 5 برابر بزرگتر از دومی و در عین حال 5 برابر بزرگتر از اولی است. ابعاد چیست؟

شغل 2. اگر یک عدد 3 بزرگتر از عدد دوم و عدد دوم 2 بزرگتر از عدد سوم باشد عدد اول چقدر از عدد سوم بزرگتر است؟ اگر عدد مثبت اول دو برابر دوم و عدد اول سه برابر سوم باشد عدد اول چند برابر از سوم بزرگتر است؟

شغل 3. در کار 2، فقط اعداد طبیعی مجاز هستند. آیا چنین ترتیبی که در آنجا توضیح داده شده امکان پذیر است؟

شغل 4. از دو مقدار مثبت، اولی 5 برابر دومی و دومی 5 برابر اولی است. آیا امکان دارد؟

مفهوم «متوسط» یا «متوسط» بسیار ساده به نظر می رسد. اگر روز دوشنبه 55 کیلومتر، سه شنبه 45 کیلومتر و چهارشنبه 80 کیلومتر رکاب زدم، به طور متوسط ​​60 کیلومتر در روز رکاب زدم. ما از صمیم قلب با این محاسبات موافقیم، هرچند کمی عجیب است زیرا من 60 کیلومتر را در یک روز نرفته ام. ما به همین راحتی سهام یک نفر را قبول می کنیم: اگر دویست نفر در عرض شش روز از یک رستوران بازدید کنند، میانگین نرخ روزانه 33 و یک سوم نفر است. HM!

فقط با اندازه متوسط ​​مشکل وجود دارد. من دوچرخه سواری را دوست دارم. بنابراین من از پیشنهاد آژانس مسافرتی "بیا با ما برویم" استفاده کردم - آنها چمدان را به هتل تحویل می دهند، جایی که مشتری برای اهداف تفریحی دوچرخه سواری می کند. روز جمعه چهار ساعت رانندگی کردم: دو ساعت اول با سرعت 24 کیلومتر در ساعت. سپس آنقدر خسته شدم که برای دو بعدی فقط 16 در ساعت. میانگین سرعت من چقدر بود؟ البته (24+16)/2=20km=20km/h.

روز شنبه اما اثاثیه را در هتل گذاشتند و من برای دیدن خرابه های قلعه که 24 کیلومتر است رفتم و با دیدن آنها برگشتم. یک ساعت در یک جهت رانندگی کردم، با سرعت 16 کیلومتر در ساعت، آهسته تر به عقب برگشتم. میانگین سرعت من در مسیر هتل-قلعه-هتل چقدر بود؟ 20 کیلومتر در ساعت؟ البته که نه. از این گذشته، من در کل 48 کیلومتر رانندگی کردم و یک ساعت ("آنجا") و یک ساعت و نیم به عقب رفتم. 48 کیلومتر در دو ساعت و نیم، یعنی. ساعت 48/2,5=192/10=19,2 کیلومتر! در این وضعیت، سرعت متوسط ​​میانگین حسابی نیست، بلکه هارمونیک مقادیر داده شده است:

و این فرمول دو طبقه را می توان به صورت زیر خواند: میانگین هارمونیک اعداد مثبت متقابل میانگین حسابی متقابل آنها است. متقابل حاصل جمع متقابل ها در بسیاری از تکالیف مدرسه ظاهر می شود: اگر یک کارگر ساعت ها را حفاری کند، دیگری - ساعت b، سپس، با همکاری یکدیگر، به موقع حفاری می کنند. استخر آب (یکی در ساعت، دیگری در ساعت b). اگر یک مقاومت دارای R1 و دیگری دارای R2 باشد، پس مقاومت موازی دارند. 

اگر یک کامپیوتر بتواند یک مشکل را در چند ثانیه حل کند، کامپیوتر دیگر در b ثانیه، آنگاه وقتی با هم کار می کنند...

متوقف کردن! اینجاست که قیاس به پایان می رسد، زیرا همه چیز به سرعت شبکه بستگی دارد: کارایی اتصالات. کارگران همچنین می توانند مانع یا کمک به یکدیگر شوند. اگر یک مرد بتواند چاهی را در هشت ساعت حفر کند، آیا هشتاد کارگر می توانند در 1/10 ساعت (یا 6 دقیقه) این کار را انجام دهند؟ اگر شش باربر پیانو را در 6 دقیقه به طبقه اول برسانند، چقدر طول می کشد تا یکی از آنها پیانو را به طبقه شصت برساند؟ پوچ بودن چنین مسائلی کاربرد محدود همه ریاضیات را برای مسائل "از زندگی" به ذهن متبادر می کند.

درباره یک فروشنده قدرتمند 

دیگر از ترازو استفاده نمی شود. به یاد بیاورید که روی یک کاسه از چنین ترازو وزنه ای گذاشته می شد و کاسه ای که وزن می شد روی دیگری قرار می گرفت و هنگامی که وزن در حالت تعادل بود، وزن کالا به اندازه وزن بود. البته طول هر دو بازوی بار وزنه باید یکسان باشد در غیر این صورت توزین نادرست خواهد بود.

درسته. فروشنده ای را تصور کنید که وزنی با اهرم نابرابر دارد. با این حال، او می خواهد با مشتریان صادق باشد و کالا را در دو دسته وزن می کند. ابتدا وزنه ای روی یک تابه می گذارد و روی دیگری مقدار مناسبی از کالا - به طوری که ترازو در تعادل باشد. سپس «نصف» دوم کالا را به ترتیب معکوس وزن می کند، یعنی وزن را روی کاسه دوم، و کالا را روی کاسه اول می گذارد. از آنجایی که دست ها نابرابر هستند، "نیمه ها" هرگز برابر نیستند. و وجدان فروشنده راحت است و خریداران صداقت او را می ستایند: "آنچه را اینجا حذف کردم، سپس اضافه کردم."

با این حال، بیایید نگاهی دقیق تر به رفتار فروشنده ای بیندازیم که می خواهد با وجود وزن نامطمئن صادق باشد. اجازه دهید بازوهای ترازوی دارای طول های a و b باشند. اگر یکی از کاسه ها با وزن کیلوگرم و دیگری با x کالا بارگیری شود، اگر بار اول ax = b و بار دوم bx = a باشد، ترازو در حالت تعادل است. بنابراین، قسمت اول کالا برابر با b / a کیلوگرم، قسمت دوم a / b است. وزن خوب دارای a = b است، بنابراین خریدار 2 کیلوگرم کالا دریافت می کند. بیایید ببینیم وقتی a ≠ b چه اتفاقی می افتد. سپس a – b ≠ 0 و از فرمول ضرب کاهش یافته داریم

ما به یک نتیجه غیرمنتظره رسیدیم: روش به ظاهر منصفانه "متوسط" اندازه گیری در این مورد به نفع خریدار است که کالاهای بیشتری دریافت می کند.

تمرین 5. (مهم، به هیچ وجه در ریاضیات!). وزن یک پشه 2,5 میلی گرم و یک فیل پنج تن است (این اطلاعات کاملاً صحیح است). میانگین حسابی، میانگین هندسی و میانگین هارمونیک جرم پشه و فیل (وزن) را محاسبه کنید. محاسبات را بررسی کنید و ببینید که آیا آنها غیر از تمرینات حسابی معنی دارند یا خیر. بیایید به نمونه های دیگری از محاسبات ریاضی نگاه کنیم که در «زندگی واقعی» معنی ندارند. نکته: ما قبلاً به یک مثال در این مقاله نگاه کرده ایم. آیا این بدان معناست که دانش آموز ناشناسی که نظرش را در اینترنت پیدا کردم درست گفته است: "ریاضی مردم را با اعداد فریب می دهد"؟

بله، موافقم که در عظمت ریاضیات، می توانید مردم را "گول بزنید" - هر ثانیه تبلیغ شامپو می گوید که کرکی را تا حدودی افزایش می دهد. آیا باید به دنبال نمونه های دیگری از ابزارهای مفید روزمره باشیم که بتوان از آنها برای فعالیت های مجرمانه استفاده کرد؟

گرم!

عنوان این قطعه یک فعل (اول شخص جمع) است نه اسم (جمع اسمی یک هزارم کیلوگرم). هارمونی دلالت بر نظم و موسیقی دارد. برای یونانیان باستان، موسیقی شاخه ای از علم بود - باید پذیرفت که اگر چنین بگوییم، معنای فعلی کلمه "علم" را به زمان قبل از عصر خود منتقل می کنیم. فیثاغورث در قرن XNUMX قبل از میلاد زندگی می کرد. او نه تنها کامپیوتر، تلفن همراه و ایمیل نمی دانست، بلکه نمی دانست که رابرت لواندوفسکی، میشکو اول، شارلمانی و سیسرو چه کسانی هستند. او نه اعداد عربی و نه حتی رومی را نمی دانست (در حدود قرن پنجم قبل از میلاد مورد استفاده قرار گرفتند)، او نمی دانست جنگ های پونیک چیست ... اما او موسیقی را می دانست ...

او می دانست که در سازهای زهی ضرایب ارتعاش با طول قسمت های ارتعاشی سیم ها نسبت معکوس دارد. او می‌دانست، می‌دانست، فقط نمی‌توانست آن را به روشی که ما امروز انجام می‌دهیم بیان کند.

فرکانس دو ارتعاش رشته ای که یک اکتاو را تشکیل می دهند به نسبت 1:2 است، یعنی فرکانس نت بالاتر دو برابر فرکانس نت پایین است. نسبت ارتعاش صحیح برای پنجم 2:3، چهارم 3:4، یک سوم ماژور خالص 4:5، یک سوم مینور 5:6 است. این فواصل همخوان دلپذیر هستند. سپس دو خنثی وجود دارد، با نسبت‌های ارتعاش 6:7 و 7:8، سپس ناهماهنگ - یک تن بزرگ (8:9)، یک تن کوچک (9:10). این کسرها (نسبت ها) مانند نسبت های اعضای متوالی یک دنباله هستند که ریاضیدانان (به همین دلیل) آن را سری هارمونیک می نامند:

از لحاظ نظری مجموع نامتناهی است. نسبت نوسانات اکتاو را می توان 2:4 نوشت و بین آنها یک پنجم قرار داد: 2:3:4، یعنی اکتاو را به یک پنجم و چهارم تقسیم می کنیم. به این تقسیم بخش هارمونیک در ریاضیات گفته می شود:

برنج. 1. برای یک نوازنده: تقسیم اکتاو AB به AC پنجم.برای ریاضیدان: تقسیم بندی هارمونیک

وقتی از مجموع نامتناهی نظری (مانند سری هارمونیک) صحبت می کنم (بالا) منظورم چیست؟ معلوم می شود که چنین مجموعی می تواند هر عدد بزرگی باشد، نکته اصلی این است که ما برای مدت طولانی اضافه می کنیم. مواد تشکیل دهنده کمتر و کمتر است، اما تعداد آنها بیشتر و بیشتر می شود. چه چیزی غالب است؟ در اینجا وارد حوزه تحلیل ریاضی می شویم. معلوم می شود که مواد تشکیل دهنده تمام می شوند، اما نه خیلی سریع. من نشان خواهم داد که با مصرف مواد کافی، می توانم خلاصه کنم:

خودسرانه بزرگ بیایید "برای مثال" n = 1024 را در نظر بگیریم. بیایید کلمات را همانطور که در شکل نشان داده شده است گروه بندی کنیم:

در هر پرانتز، هر کلمه بزرگتر از کلمه قبلی است، البته به جز آخرین کلمه که برابر با خودش است. در پرانتزهای زیر 2، 4، 8، 16، 32، 64، 128 و 512 جزء داریم. مقدار مجموع در هر پرانتز بزرگتر از ½ است. همه اینها بیش از 5 و نیم است. محاسبات دقیق تر نشان می دهد که این مقدار تقریباً 7,50918 است. نه زیاد، اما همیشه، و می توانید ببینید که با گرفتن n هر بزرگ، می توانم از هر عددی بهتر عمل کنم. این یکی فوق‌العاده کند است (مثلاً، ما تنها با مواد اولیه در رتبه اول قرار داریم)، ​​اما رشد بی‌نهایت همیشه ریاضیدانان را مجذوب خود کرده است.

سفر به بی نهایت با سری هارمونیک

در اینجا یک پازل برای ریاضیات بسیار جدی وجود دارد. ما تعداد نامحدودی از بلوک های مستطیلی داریم (چه می توانم بگویم، مستطیل شکل!) با ابعاد، مثلاً 4 × 2 × 1. سیستمی متشکل از چندین (روی) را در نظر بگیرید. شکل. 2 - چهار) بلوک، چیده شده به گونه ای که اولی به ½ طول آن، دومی از بالا به اندازه ¼ و به همین ترتیب، سومی به یک ششم شیب دارد. خوب، شاید برای اینکه واقعاً پایدار باشد، آجر اول را کمی کمتر کج کنیم. برای محاسبات مهم نیست.

برنج. 2. تعیین مرکز ثقل

همچنین به راحتی می توان فهمید که از آنجایی که شکل متشکل از دو بلوک اول (شمارش از بالا) دارای مرکز تقارن در نقطه B است، پس B مرکز ثقل است. بیایید مرکز ثقل سیستم را که از سه بلوک بالایی تشکیل شده است، به صورت هندسی تعریف کنیم. یک استدلال بسیار ساده در اینجا کافی است. بیایید ترکیب سه بلوک را ذهنی به دو قسمت بالایی و سومی پایینی تقسیم کنیم. این مرکز باید روی قسمتی قرار گیرد که مرکز ثقل دو قسمت را به هم متصل می کند. در چه مقطعی از این قسمت؟

دو راه برای تعیین وجود دارد. در مورد اول، از مشاهده استفاده خواهیم کرد که این مرکز باید در وسط هرم سه بلوکی قرار گیرد، یعنی روی یک خط مستقیم که بلوک دوم وسط را قطع می کند. به روش دوم، می فهمیم که از آنجایی که جرم دو بلوک بالایی دو برابر یک بلوک منفرد شماره 3 (بالا) است، مرکز ثقل این بخش باید دو برابر از مرکز آن به B نزدیک باشد. S از بلوک سوم. به همین ترتیب، نقطه بعدی را پیدا می کنیم: مرکز یافت شده سه بلوک را به مرکز S بلوک چهارم متصل می کنیم. مرکز کل سیستم در ارتفاع 2 و در نقطه ای است که قطعه را بر 1 به 3 تقسیم می کند (یعنی بر ¾ طول آن).

محاسباتی که ما کمی بیشتر انجام خواهیم داد به نتیجه نشان داده شده در شکل XNUMX منجر می شود. شکل 3. مراکز ثقل متوالی از لبه سمت راست بلوک تحتانی توسط:

بنابراین، مرکز ثقل هرم همیشه در قاعده قرار دارد. برج واژگون نخواهد شد حالا بیایید نگاه کنیم شکل. 3 و برای یک لحظه، از بلوک پنجم از بالا به عنوان پایه استفاده می کنیم (بلوکی که با رنگ روشن تر مشخص شده است). متمایل به بالا:

بنابراین، لبه سمت چپ آن 1 بیشتر از لبه سمت راست پایه است. در اینجا نوسان بعدی است:

بزرگترین نوسان چیست؟ ما قبلاً می دانیم! بزرگترین وجود ندارد! با برداشتن کوچک‌ترین بلوک‌ها، می‌توانید یک کیلومتر برآمدگی داشته باشید - متأسفانه، فقط از نظر ریاضی: کل زمین برای ساختن این همه بلوک کافی نیست!

برنج. 3. بلوک های بیشتری اضافه کنید

حالا محاسباتی که در بالا گذاشتیم. ما تمام فواصل را به صورت "افقی" روی محور x محاسبه خواهیم کرد، زیرا این همه چیز است. نقطه A (مرکز ثقل بلوک اول) 1/2 از لبه سمت راست است. نقطه B (مرکز سیستم دو بلوکی) از لبه سمت راست بلوک دوم 1/4 فاصله دارد. بگذارید نقطه شروع پایان بلوک دوم باشد (اکنون به سومین می رویم). به عنوان مثال، مرکز ثقل تک بلوک شماره 3 کجاست؟ بنابراین، نصف طول این بلوک، 1/2 + 1/4 = 3/4 از نقطه مرجع ما است. نقطه C کجاست؟ در دو سوم قطعه بین 3/4 و 1/4، یعنی در نقطه قبل، نقطه مرجع را به لبه سمت راست بلوک سوم تغییر می دهیم. مرکز ثقل سیستم سه بلوکی اکنون از نقطه مرجع جدید حذف شده است و غیره. مرکز ثقل C_n یک برج متشکل از n بلوک 1/2n با نقطه مرجع آنی فاصله دارد، که لبه سمت راست بلوک پایه است، یعنی nامین بلوک از بالا.

از آنجایی که سلسله حرکات متقابل متفاوت است، می‌توانیم هر تغییر بزرگی را بدست آوریم. آیا واقعاً می توان این را اجرا کرد؟ این مانند یک برج آجری بی پایان است - دیر یا زود زیر وزن خود فرو خواهد ریخت. در طرح ما، حداقل عدم دقت در قرار دادن بلوک (و افزایش آهسته در مجموع جزئی سری) به این معنی است که ما خیلی دور نخواهیم بود.