مسیرهای هندسی و بیشه ها

هنگام نوشتن این مقاله، آهنگ بسیار قدیمی یان پیترزاک را به یاد آوردم که او قبل از فعالیت طنز خود در کاباره Pod Egidą، که در جمهوری خلق لهستان به عنوان سوپاپ ایمنی شناخته شده بود، خوانده بود. صادقانه می توان به پارادوکس های نظام خندید. در این ترانه، نویسنده مشارکت سیاسی سوسیالیستی، تمسخر کسانی که می خواهند غیرسیاسی باشند و خاموش کردن رادیو در روزنامه توصیه می کند. پتشک XNUMX ساله با کنایه خواند: «بهتر است به مطالعه مدرسه برگردیم».

دارم برمیگردم به مدرسه میخونم من دوباره (نه برای اولین بار) کتاب شچپان یلنسکی (1881-1949) "لیلااتی" را بازخوانی می کنم. برای تعداد کمی از خوانندگان، خود کلمه چیزی می گوید. این نام دختر ریاضیدان معروف هندو معروف به باسکارا (1114-1185) به نام آکاریا یا حکیمی است که کتاب جبر خود را با این نام عنوان کرده است. لیلواتی بعدها خودش یک ریاضیدان و فیلسوف مشهور شد. به گفته منابع دیگر، این او بود که خود کتاب را نوشت.

شپان یلنسکی همین عنوان را به کتاب خود در زمینه ریاضیات (نسخه اول، 1926) داد. حتی ممکن است دشوار باشد که این کتاب را یک اثر ریاضی بنامیم - این کتاب بیشتر مجموعه‌ای از پازل‌ها بود و عمدتاً از منابع فرانسوی بازنویسی شده بود (حق نسخه‌برداری به معنای امروزی وجود نداشت). در هر صورت، برای سال‌ها این تنها کتاب محبوب لهستانی در مورد ریاضیات بود - بعداً کتاب دوم جلنسکی، شیرینی‌های فیثاغورث، به آن اضافه شد. بنابراین جوانان علاقه مند به ریاضیات (که دقیقاً همان چیزی است که من قبلاً بودم) چیزی برای انتخاب نداشتند ...

از طرفی «لیلواتی» را باید تقریباً از روی قلب می‌شناخت... آهان، زمان‌هایی بود... بزرگ‌ترین مزیتشان این بود که من... نوجوان بودم. امروز، از دیدگاه یک ریاضیدان تحصیلکرده، من به لیلااتی کاملاً متفاوت نگاه می کنم - شاید مانند یک کوهنورد در پیچ های مسیر به Shpiglasova Pshelench. نه یکی و نه دیگری جذابیت خود را از دست نمی دهد ... شچپان یلنسکی که به اصطلاح در زندگی شخصی خود عقاید ملی را مطرح می کند، به سبک مشخص خود در مقدمه می نویسد:

بدون دست زدن به توصیف ویژگی های ملی، می گویم که حتی پس از نود سال، سخنان یلنسکی در مورد ریاضیات اهمیت خود را از دست نداده است. ریاضیات به شما یاد می دهد که فکر کنید. این یک واقعیت است. آیا می توانیم به شما یاد بدهیم که متفاوت، ساده تر و زیباتر فکر کنید؟ شاید. فقط... ما هنوز نمی توانیم. من به دانش آموزانم که نمی خواهند ریاضی انجام دهند توضیح می دهم که این هم تست هوش آنهاست. اگر نمی توانید تئوری ریاضی بسیار ساده را یاد بگیرید، پس... شاید توانایی های ذهنی شما بدتر از آن باشد که هر دوی ما دوست داریم...؟

علائم در شن و ماسه

و در اینجا اولین داستان در "Lylavati" است - داستانی که توسط فیلسوف فرانسوی ژوزف دو ماستر (1753-1821) توصیف شده است.

یک ملوان از یک کشتی شکسته توسط امواج به ساحلی خالی پرتاب شد که او آن را خالی از سکنه می دانست. ناگهان در شن های ساحلی، اثری از یک شکل هندسی را در مقابل کسی دید. اون موقع بود که فهمید جزیره خالی از سکنه نیست!

یلنسکی به نقل از دی مستری می نویسد: شکل هندسیاین ممکن بود یک تعبیر لال برای فرد بدبخت، کشتی شکسته، تصادفی باشد، اما او در یک نگاه نسبت و تعداد را به او نشان داد، و این خبر از یک مرد روشن بین داد. خیلی برای تاریخ.

توجه داشته باشید که یک ملوان همین واکنش را ایجاد می کند، مثلاً با کشیدن حرف K، ... و هر اثر دیگری از حضور یک فرد. در اینجا هندسه ایده آل می شود.

با این حال، ستاره شناس Camille Flammarion (1847-1925) پیشنهاد کرد که تمدن ها از راه دور با استفاده از هندسه به یکدیگر سلام می کنند. او تنها تلاش صحیح و ممکن برای برقراری ارتباط را در این امر دید. بیایید مثلث های فیثاغورثی را به چنین مریخیانی نشان دهیم ... آنها با تالس به ما پاسخ می دهند ، ما با الگوهای ویتا به آنها پاسخ می دهیم ، دایره آنها در یک مثلث قرار می گیرد ، بنابراین دوستی شروع شد ...

نویسندگانی مانند ژول ورن و استانیسلاو لم به این ایده بازگشتند. و در سال 1972، کاشی‌هایی با الگوهای هندسی (و نه تنها) روی کاوشگر پایونیر قرار گرفتند، که هنوز از وسعت فضا عبور می‌کند، اکنون تقریباً 140 واحد نجومی از ما فاصله دارد (1 I میانگین فاصله زمین از زمین است) . خورشید، یعنی حدود 149 میلیون کیلومتر). این کاشی تا حدی توسط ستاره شناس فرانک دریک، خالق قانون بحث برانگیز در مورد تعداد تمدن های فرازمینی طراحی شده است.

هندسه شگفت انگیز است. همه ما دیدگاه کلی در مورد منشأ این علم را می دانیم. ما (ما انسانها) به تازگی شروع به اندازه گیری زمین (و بعداً زمین) برای سودمندترین اهداف کرده ایم. تعیین فواصل، ترسیم خطوط مستقیم، علامت گذاری زوایای قائمه و محاسبه احجام به تدریج تبدیل به یک ضرورت شد. از این رو کل ماجرا هندسه ("اندازه گیری زمین")، از این رو تمام ریاضیات ...

با این حال، برای مدتی این تصویر روشن از تاریخ علم ما را مبهم کرد. زیرا اگر ریاضیات صرفاً برای اهداف عملیاتی مورد نیاز بود، ما درگیر اثبات قضایای ساده نبودیم. پس از بررسی اینکه در چندین مثلث قائم الزاویه مجموع مجذورهای هیپوتنوس برابر است با مجذور هپوتنوس، می‌توان گفت: «می‌بینی که اصلاً باید درست باشد.» چرا چنین فرمالیسمی؟

پای آلو باید خوشمزه باشد، برنامه کامپیوتری باید کار کند، دستگاه باید کار کند. اگر ظرفیت بشکه را سی بار شمردم و همه چیز مرتب است، پس دیگر چرا؟

در این بین، به ذهن یونانیان باستان رسید که باید شواهدی رسمی پیدا کرد.

بنابراین، ریاضیات با تالس (625-547 قبل از میلاد) آغاز می شود. فرض بر این است که این میلتوس بود که شروع به تعجب کرد که چرا. برای افراد باهوش این کافی نیست که چیزی دیده باشند، به چیزی متقاعد شده باشند. آنها نیاز به اثبات، یک توالی منطقی از استدلال ها از فرض تا پایان نامه را دیدند.

آنها نیز بیشتر می خواستند. احتمالاً این تالس بود که برای اولین بار سعی کرد پدیده های فیزیکی را به روشی طبیعی و بدون دخالت الهی توضیح دهد. فلسفه اروپایی با فلسفه طبیعت آغاز شد - با آنچه قبلاً پشت فیزیک است (از این رو نام: متافیزیک). اما پایه های هستی شناسی و فلسفه طبیعی اروپایی را فیثاغورثی ها بنا نهادند (فیثاغورث، حدود 580-حدود 500 ق.م).

او مدرسه خود را در کروتون در جنوب شبه جزیره آپنین تأسیس کرد - امروز ما آن را فرقه می نامیم. علم (به معنای کنونی کلمه)، عرفان، دین و خیال، همگی با یکدیگر پیوند تنگاتنگی دارند. توماس مان در رمان دکتر فاستوس بسیار زیبا دروس ریاضیات را در یک سالن بدنسازی آلمانی ارائه کرد. این قطعه توسط ماریا کورتسکایا و ویتولد ویرپشا ترجمه شده است:

در کتاب جالب چارلز ون دورن، تاریخ دانش از طلوع تاریخ تا امروز، دیدگاه بسیار جالبی یافتم. نویسنده در یکی از فصول، اهمیت مکتب فیثاغورث را شرح می دهد. عنوان فصل برایم جالب بود. در اینجا آمده است: "اختراع ریاضیات: فیثاغورثی ها".

ما اغلب بحث می کنیم که آیا نظریه های ریاضی در حال کشف هستند (مثلاً سرزمین های ناشناخته) یا اختراع (مثلاً ماشین هایی که قبلاً وجود نداشتند). برخی از ریاضیدانان خلاق خود را به عنوان محقق، برخی دیگر به عنوان مخترع یا طراح، کمتر متقابل می بینند.

اما نویسنده این کتاب به طور کلی در مورد اختراع ریاضیات می نویسد.

از اغراق تا توهم

پس از این بخش مقدماتی طولانی، به همان ابتدا می پردازم. هندسهبرای توصیف اینکه چگونه اتکای بیش از حد به هندسه می تواند یک دانشمند را گمراه کند. یوهانس کپلر در فیزیک و نجوم به عنوان کاشف سه قانون حرکت اجرام آسمانی شناخته می شود. ابتدا، هر سیاره در منظومه شمسی در مداری بیضوی به دور خورشید حرکت می کند و خورشید در یکی از کانون های آن قرار دارد. ثانیاً، در فواصل منظم، پرتوی پیشرو سیاره که از خورشید کشیده شده است، میدان های مساوی را ترسیم می کند. ثالثاً، نسبت مربع دوره چرخش یک سیاره به دور خورشید به مکعب محور نیمه اصلی مدار آن (یعنی میانگین فاصله از خورشید) برای همه سیارات منظومه شمسی ثابت است.

شاید این قانون سوم بود - برای ایجاد آن به داده ها و محاسبات زیادی نیاز بود که کپلر را بر آن داشت تا به جستجوی الگوهایی در حرکت و موقعیت سیارات ادامه دهد. تاریخچه «کشف» جدید او بسیار آموزنده است. از دوران باستان، ما نه تنها چند وجهی منظم را تحسین می‌کردیم، بلکه استدلال‌هایی را نیز تحسین می‌کردیم که نشان می‌داد تنها پنج مورد از آنها در فضا وجود دارد. یک چندوجهی سه بعدی در صورتی منظم نامیده می شود که وجوه آن چند ضلعی منتظم یکسان باشد و هر رأس دارای تعداد یال های یکسانی باشد. به طور مثال، هر گوشه از یک چند وجهی منظم باید "یکسان به نظر برسد". معروف ترین چند وجهی مکعب است. همه یک مچ پای معمولی دیده اند.

چهار وجهی منظم کمتر شناخته شده است و در مدرسه به آن هرم مثلثی منظم می گویند. شبیه یک هرم است. سه چند وجهی منظم باقی مانده کمتر شناخته شده هستند. وقتی مرکز لبه های یک مکعب را به هم وصل می کنیم یک هشت وجهی تشکیل می شود. دوازده وجهی و ایکوز وجهی در حال حاضر شبیه به توپ هستند. ساخته شده از چرم نرم، حفاری آنها راحت است. این استدلال که هیچ چند وجهی منظم به جز پنج جامد افلاطونی وجود ندارد بسیار خوب است. ابتدا متوجه می‌شویم که اگر بدنه منظم است، پس همان تعداد (بگذارید q) از چند ضلعی‌های منتظم یکسان در هر رأس همگرا شوند، بگذارید اینها زوایای p باشند. اکنون باید به خاطر بسپاریم که زاویه در یک چند ضلعی منظم چقدر است. اگر کسی از مدرسه به یاد نمی آورد، ما به شما یادآوری می کنیم که چگونه الگوی مناسب را پیدا کنید. ما یک سفر در گوشه و کنار رفتیم. در هر رأس از همان زاویه a می چرخیم. وقتی چند ضلعی را دور می زنیم و به نقطه شروع برمی گردیم، p چنین چرخشی کرده ایم و در مجموع 360 درجه چرخیده ایم.

اما α مکمل 180 درجه زاویه‌ای است که می‌خواهیم محاسبه کنیم، و به همین دلیل است

ما فرمول زاویه (یک ریاضیدان می گوید: اندازه گیری زاویه) یک چندضلعی منتظم را پیدا کرده ایم. بیایید بررسی کنیم: در مثلث p = 3، a وجود ندارد

مثل این. وقتی p = 4 (مربع)، پس

درجه هم خوبه

برای پنج ضلعی چه چیزی بدست می آوریم؟ پس چه اتفاقی می افتد وقتی که q چند ضلعی وجود داشته باشد، هر p دارای زوایای یکسانی باشد

 درجه نزولی در یک راس؟ اگر در یک هواپیما بود، یک زاویه تشکیل می شد

درجه و نمی تواند بیشتر از 360 درجه باشد - زیرا در این صورت چند ضلعی ها با هم همپوشانی دارند.

با این حال، از آنجایی که این چند ضلعی ها در فضا به هم می رسند، زاویه باید کمتر از زاویه کامل باشد.

و اینجا نابرابری است که همه از آن ناشی می شود:

آن را بر 180 تقسیم کنید، هر دو قسمت را در p ضرب کنید، به ترتیب (p-2) (q-2) < 4. چه چیزی به دست می آید؟ بیایید بدانیم که p و q باید اعداد طبیعی باشند و p > 2 (چرا؟ و p چیست؟) و همچنین q > 2. راه های زیادی برای کوچکتر کردن حاصل ضرب دو عدد طبیعی از 4 وجود ندارد. همه آنها را در جدول 1 فهرست می کنیم.

من نقاشی ها را پست نمی کنم، همه می توانند این چهره ها را در اینترنت ببینند ... در اینترنت ... من از انحراف غزلی امتناع نمی کنم - شاید برای خوانندگان جوان جالب باشد. در سال 1970 در یک سمینار صحبت کردم. موضوع مشکل بود زمان کمی برای آماده شدن داشتم، عصرها می نشستم. مقاله اصلی در جای خود فقط خواندنی بود. مکان دنج بود، با فضای کاری، خوب، ساعت هفت بسته شد. سپس خود عروس (در حال حاضر همسرم) پیشنهاد داد که کل مقاله را برای من بازنویسی کند: حدود دوازده صفحه چاپ شده. من آن را کپی کردم (نه، نه با خودکار، ما حتی خودکار داشتیم)، سخنرانی موفقیت آمیز بود. امروز سعی کردم این نشریه را پیدا کنم که قدیمی است. فقط اسم نویسنده را به خاطر دارم... جستجوها در اینترنت طولانی شد... پانزده دقیقه کامل. با یک پوزخند و کمی پشیمانی بی دلیل به آن فکر می کنم.

برمی گردیم به هندسه کپلر. ظاهراً افلاطون وجود پنجمین شکل منظم را پیش‌بینی کرد زیرا فاقد چیزی وحدت‌بخش بود که تمام جهان را پوشش می‌داد. شاید به همین دلیل بود که به دانش آموزی (Theajtet) دستور داد که به دنبال او بگردد. همانطور که بود، همینطور بود که بر اساس آن دوازده وجهی کشف شد. ما این نگرش افلاطون را پانتئیسم می نامیم. همه دانشمندان، تا نیوتن، کم و بیش تسلیم آن شدند. از قرن هجدهم بسیار منطقی، تأثیر آن به شدت کاهش یافته است، اگرچه ما نباید از این واقعیت خجالت بکشیم که همه ما به نوعی تسلیم آن می شویم.

در مفهوم کپلر از ساختن منظومه شمسی، همه چیز درست بود، داده های تجربی با نظریه منطبق بود، نظریه از نظر منطقی منسجم، بسیار زیبا بود... اما کاملا نادرست. در زمان او تنها شش سیاره شناخته شده بود: عطارد، زهره، زمین، مریخ، مشتری و زحل. چرا فقط شش سیاره وجود دارد؟ کپلر پرسید. و چه نظمی فاصله آنها را از خورشید تعیین می کند؟ او فرض کرد که همه چیز به هم وصل شده است، که هندسه و کیهان شناسی ارتباط نزدیکی با یکدیگر دارند. از نوشته‌های یونانیان باستان، او می‌دانست که تنها پنج چند وجهی منظم وجود دارد. او دید که بین شش مدار پنج فضای خالی وجود دارد. بنابراین ممکن است هر یک از این فضاهای آزاد مربوط به چند وجهی منظم باشد؟

پس از چندین سال مشاهده و کار نظری، او نظریه زیر را ایجاد کرد که به کمک آن ابعاد مدارها را کاملاً دقیق محاسبه کرد که در کتاب Mysterium Cosmographicum منتشر شده در سال 1596 ارائه کرد: یک کره غول پیکر را تصور کنید. که قطر آن قطر مدار عطارد در حرکت سالانه اش به دور خورشید است. سپس تصور کنید که روی این کره یک هشت وجهی منظم، روی آن یک کره، روی آن یک ایکو وجهی، روی آن دوباره یک کره، روی آن یک دوازده وجهی، روی آن یک کره دیگر، روی آن یک چهار وجهی، سپس دوباره یک کره، یک مکعب وجود دارد. و در نهایت روی این مکعب توپ توضیح داده شده است.

کپلر به این نتیجه رسید که قطر این کره های متوالی قطر مدار سیارات دیگر است: عطارد، زهره، زمین، مریخ، مشتری و زحل. به نظر می رسید این نظریه بسیار دقیق است. متأسفانه، این با داده های تجربی همزمان بود. و چه مدرکی بهتر از درستی یک نظریه ریاضی از مطابقت آن با داده های تجربی یا داده های مشاهده ای، به ویژه «برگرفته از بهشت»؟ من این محاسبات را در جدول 2 خلاصه می کنم. پس کپلر چه کرد؟ من سعی کردم و تلاش کردم تا زمانی که نتیجه داد، یعنی زمانی که پیکربندی (ترتیب کره ها) و محاسبات حاصل با داده های رصدی منطبق شد. در اینجا ارقام و محاسبات مدرن کپلر آمده است:

می توان تسلیم شیفتگی نظریه شد و معتقد بود که اندازه گیری ها در آسمان نادرست است و نه محاسباتی که در سکوت کارگاه انجام می شود. متأسفانه، امروزه می دانیم که حداقل XNUMX سیاره وجود دارد و همه تصادفات نتایج فقط یک تصادف هستند. حیف خیلی زیبا بود...