بنابراین به چه کسی، یعنی: در جایی که می توانید تلاش کنید - قسمت 2

در قسمت قبل به سودوکو پرداختیم، یک بازی حسابی که در آن اعداد اساساً در نمودارهای مختلف بر اساس قوانین خاصی مرتب می شوند. رایج ترین نوع، صفحه شطرنج 9×9 است که به 3 خانه 3×1 تقسیم می شود. اعداد از 9 تا XNUMX باید روی آن تنظیم شوند تا در یک ردیف عمودی (ریاضیدانان می گویند: در یک ستون) یا در یک ردیف افقی (ریاضیدانان می گویند: در یک ردیف) تکرار نشوند - و علاوه بر این، به طوری که آنها تکرار نمی کنند. در هر مربع کوچکتری تکرار کنید.

Na شکل. 1 ما این پازل را در یک نسخه ساده تر می بینیم که یک مربع 6 × 6 است که به مستطیل های 2 × 3 تقسیم شده است. اعداد 1، 2، 3، 4، 5، 6 را در آن قرار می دهیم - به طوری که آنها به صورت عمودی تکرار نشوند. به صورت افقی و نه در هر یک از شش ضلعی های انتخاب شده.

بیایید سعی کنیم در مربع بالا نشان داده شده است. آیا می توانید طبق قوانینی که برای این بازی تعیین شده است آن را با اعداد 1 تا 6 پر کنید؟ ممکن است - اما مبهم. بیایید ببینیم - یک مربع در سمت چپ یا یک مربع در سمت راست بکشید.

می توان گفت که این اساس پازل نیست. ما معمولاً فرض می کنیم که یک پازل یک راه حل دارد. کار پیدا کردن پایه های مختلف برای سودوکو "بزرگ"، 9x9، کار دشواری است و هیچ شانسی برای حل کامل آن وجود ندارد.

ارتباط مهم دیگر، سیستم متناقض است. مربع وسط پایین (مربع با شماره 2 در گوشه پایین سمت راست) قابل تکمیل نیست. چرا؟

تفریح ​​و استراحت

ما بازی می کنیم از شهود کودکان استفاده کنیم. آنها معتقدند که سرگرمی مقدمه ای برای یادگیری است. بیایید به فضا برویم. روشن شده شکل. 2 همه شبکه را می بینند چهار ضلعیاز توپ ها مثلاً توپ های پینگ پنگ؟ درس های هندسه مدرسه را به یاد بیاورید. رنگ های سمت چپ تصویر توضیح می دهد که هنگام مونتاژ بلوک به چه چیزی چسبانده شده است. به طور خاص، سه توپ گوشه (قرمز) به یکی چسبانده می شوند. بنابراین باید تعداد آنها یکسان باشد. شاید 9. چرا؟ چرا که نه؟

اوه من آن را بیان نکردم وظایف. چیزی شبیه این به نظر می رسد: آیا می توان اعداد 0 تا 9 را در شبکه قابل مشاهده به گونه ای درج کرد که هر صورت شامل همه اعداد باشد؟ کار سختی نیست، اما چقدر باید تصور کنید! من لذت خوانندگان را خراب نمی کنم و راه حلی نمی دهم.

این یک شکل بسیار زیبا و دست کم گرفته شده است. هشت وجهی منظم، از دو هرم (=اهرام) با قاعده مربع ساخته شده است. همانطور که از نامش پیداست، هشت وجهی هشت وجهی دارد.

در یک هشت وجهی شش رأس وجود دارد. منافات دارد مکعبکه شش وجه و هشت رأس دارد. لبه های هر دو توده یکسان است - هر کدام دوازده. این جامدات دوتایی - این بدان معنی است که با اتصال مراکز وجه های مکعب یک هشت ضلعی به دست می آوریم و مراکز وجه های هشت وجهی به ما یک مکعب می دهند. هر دوی این برجستگی ها اجرا می شوند ("زیرا مجبورند") فرمول اویلر: مجموع تعداد رئوس و تعداد وجه ها 2 بیشتر از تعداد یال هاست.

3. هشت ضلعی منظم در برآمدگی موازی و یک شبکه هشت ضلعی مرکب از کره به گونه ای که هر یال دارای چهار کره باشد.

شغل 1. ابتدا با استفاده از یک فرمول ریاضی جمله آخر پاراگراف قبل را یادداشت کنید. در شکل. 3 شما یک شبکه هشت وجهی را می بینید که همچنین از کره تشکیل شده است. هر لبه دارای چهار توپ است. هر صورت مثلثی از ده کره است. مشکل به طور مستقل تنظیم شده است: آیا می توان اعداد 0 تا 9 را در دایره های شبکه قرار داد تا پس از چسباندن یک بدنه جامد، هر دیوار شامل تمام اعداد باشد (بدون تکرار). مانند قبل، بزرگترین مشکل در این کار این است که چگونه مش به یک جسم جامد تبدیل می شود. من نمی توانم آن را به صورت کتبی توضیح دهم، بنابراین در اینجا نیز راه حل نمی دهم.

4. دو آیکوساهدر از توپ های پینگ پنگ. به طرح رنگ های مختلف توجه کنید.

قبلا افلاطون (و او در قرن XNUMX-XNUMX قبل از میلاد می زیست) همه چند وجهی منظم را می دانست: چهار وجهی، مکعب، هشت وجهی، دوازده ضلعی i آیکوزاهدرون. شگفت انگیز است که او چگونه به آنجا رسید - بدون مداد، بدون کاغذ، بدون خودکار، بدون کتاب، بدون گوشی هوشمند، بدون اینترنت! من در اینجا در مورد دوازده وجهی صحبت نمی کنم. اما سودوکو ایکوساهدرال جالب است. ما این توده را روی آن می بینیم تصویر 4و شبکه آن شکل 5.

5. مش منظم ایکوز وجهی.

مانند قبل، این یک شبکه به معنایی که (؟!) از مدرسه به یاد می آوریم نیست، بلکه روشی برای چسباندن مثلث ها از توپ ها (توپ ها) است.

شغل 2. برای ساختن چنین ایکوز وجهی چند توپ لازم است؟ آیا استدلال زیر صحیح می‌ماند: از آنجایی که هر صورت یک مثلث است، اگر 20 وجه وجود داشته باشد، به 60 کره نیاز است؟

6. شبکه ایکوساهدر از کره ها. به عنوان مثال، هر دایره یک توپ پینگ پنگ است، اما ساخت دایره ها بر روی دایره هایی که با همان رنگ مشخص شده اند در یک حلقه ادغام می شوند. بنابراین ما دوازده کره داریم (= دوازده رأس: قرمز، آبی، بنفش، آبی و هشت زرد).

به راحتی می توان فهمید که سه عدد در ایکو وجهی کافی نیست. به طور دقیق تر: نمی توان رئوس را با اعداد 1، 2، 3 برشمرد تا هر صورت (مثلثی) این سه عدد را داشته باشد و هیچ تکراری وجود نداشته باشد. آیا با چهار عدد امکان پذیر است؟ بله این ممکن است! بیایید نگاهی بیندازیم به برنج. 6 و 7.

7. در اینجا نحوه شماره گذاری کره های تشکیل دهنده ایکوسادرون به گونه ای است که هر صورت دارای اعدادی غیر از 1، 2، 3، 4 باشد. کدام یک از اجسام در شکل. 4 اینجوری رنگ میشه؟

شغل 3. سه عدد از چهار عدد را می توان به چهار روش انتخاب کرد: 123، 124، 134، 234. در شکل پنج مثلث از این قبیل را در ایکو وجهی بیابید. 7 (و همچنین از تصاویر 4).

تمرین 4 (نیاز به تخیل فضایی بسیار خوبی دارد). ایکوساهدر دوازده رأس دارد، به این معنی که می توان آن را از دوازده توپ به هم چسباند.شکل. 7). توجه داشته باشید که سه راس (= توپ) با 1، سه با 2 و غیره وجود دارد. بنابراین، توپ های همرنگ یک مثلث را تشکیل می دهند. این مثلث چیست؟ شاید متساوی الاضلاع؟ دوباره نگاه کن تصاویر 4.

کار بعدی برای پدربزرگ / مادربزرگ و نوه / نوه. والدین نیز بالاخره می توانند دست خود را امتحان کنند، اما به صبر و زمان نیاز دارند.

شغل 5. دوازده (ترجیحاً 24) توپ پینگ پنگ، چهار رنگ رنگ، یک قلم مو و چسب مناسب بخرید - من توپ های سریع مانند Superglue یا Droplet را توصیه نمی کنم زیرا خیلی زود خشک می شوند و برای کودکان خطرناک هستند. چسب روی ایکوس وجه. به نوه خود تی شرتی بپوشید که بلافاصله بعد از آن شسته شود (یا دور ریخته شود). روی میز را با فویل بپوشانید (ترجیحا با روزنامه). همانطور که در شکل نشان داده شده است، ایکوساهدر را با چهار رنگ 1، 2، 3، 4 رنگ آمیزی کنید. شکل. 7. می توانید ترتیب را تغییر دهید - ابتدا بادکنک ها را رنگ کنید و سپس آنها را بچسبانید. در ضمن دایره های ریز باید بدون رنگ رها شوند تا رنگ به رنگ نچسبد.

اکنون سخت ترین کار (به طور دقیق تر، کل دنباله آنها).

تمرین 6 (به طور خاص، موضوع کلی). ایکوز وجهی را به صورت چهار وجهی و هشت وجهی روی آن ترسیم کنید برنج. 2 و 3 این بدان معنی است که در هر لبه باید چهار توپ وجود داشته باشد. در این نوع، این کار هم زمان‌بر و هم پرهزینه است. بیایید با پیدا کردن تعداد توپ مورد نیاز خود شروع کنیم. هر صورت دارای ده کره است، پس ایکو وجهی به دویست کره نیاز دارد؟ نه! ما باید به یاد داشته باشیم که بسیاری از توپ ها مشترک هستند. یک ایکوساهدر چند یال دارد؟ می توان آن را با زحمت محاسبه کرد، اما فرمول اویلر برای چیست؟

w–k+s=2

که در آن w، k، s به ترتیب تعداد رئوس، لبه ها و وجه ها هستند. ما به یاد می آوریم که w = 12، s = 20، که به معنی k = 30 است. ما 30 لبه ایکوساهدر داریم. شما می توانید آن را متفاوت انجام دهید، زیرا اگر 20 مثلث وجود داشته باشد، آنها فقط 60 یال دارند، اما دو تای آنها مشترک هستند.

بیایید محاسبه کنیم که به چند توپ نیاز دارید. در هر مثلث فقط یک توپ داخلی وجود دارد - نه در بالای بدن ما و نه در لبه. بنابراین، ما در مجموع 20 توپ از این دست داریم. 12 قله وجود دارد. هر لبه دارای دو توپ غیر راس است (آنها در داخل لبه هستند، اما در داخل صورت نیستند). از آنجایی که 30 لبه وجود دارد، 60 تیله وجود دارد، اما دو تای آنها مشترک است، یعنی شما فقط به 30 تیله نیاز دارید، بنابراین در مجموع به 20 + 12 + 30 = 62 تیله نیاز دارید. توپ ها را می توان با حداقل 50 پنی (معمولاً گران تر) خریداری کرد. اگه هزینه چسب رو هم اضافه کنید خیلی بیرون میاد... پیوند خوب نیازمند چندین ساعت کار پر زحمت است. آنها با هم برای یک سرگرمی آرام مناسب هستند - من آنها را به جای تماشای تلویزیون توصیه می کنم.

عقب نشینی 1. در مجموعه فیلم‌های سال‌ها، روزها به کارگردانی آندری وایدا، دو مرد شطرنج بازی می‌کنند «زیرا باید به نحوی زمان را تا شام بگذرانند». در کراکوف گالیسیایی اتفاق می افتد. در واقع: روزنامه ها قبلا خوانده شده اند (در آن زمان آنها 4 صفحه داشتند)، تلویزیون و تلفن هنوز اختراع نشده اند، هیچ مسابقه فوتبالی وجود ندارد. بی حوصلگی در گودال ها. در چنین شرایطی مردم برای خود سرگرمی اندیشیدند. امروز بعد از فشار دادن کنترل از راه دور آنها را داریم ...

عقب نشینی 2. در نشست سال 2019 انجمن معلمان ریاضیات، یک استاد اسپانیایی یک برنامه کامپیوتری را نشان داد که می تواند دیوارهای جامد را به هر رنگی رنگ آمیزی کند. کمی ترسناک بود، زیرا آنها فقط دست ها را کشیدند، تقریباً بدن را قطع کردند. با خودم فکر کردم: چقدر می توان از چنین "سایه ای" لذت برد؟ همه چیز دو دقیقه طول می کشد و تا چهارم ما چیزی به یاد نمی آوریم. در همین حال، "سوزن دوزی" از مد افتاده باعث آرامش و آموزش می شود. کسی که باور نمی کند، بگذار تلاش کند.

بیایید به قرن XNUMX و واقعیت های خود برگردیم. اگر آرامش را به شکل چسباندن پر زحمت توپ ها نمی خواهیم، ​​حداقل یک شبکه ایکوساهدر را ترسیم می کنیم که لبه های آن دارای چهار توپ است. چگونه انجامش بدهیم؟ آن را درست خرد کنید شکل 6. خواننده با دقت مشکل را حدس زده است:

شغل 7. آیا می توان توپ ها را با اعداد از 0 تا 9 برشمرد تا همه این اعداد در هر وجه از چنین ایکو وجهی ظاهر شوند؟

برای چه پولی می گیریم؟

امروزه اغلب از خودمان این سوال را می‌پرسیم که هدف از فعالیت‌هایمان چیست و «مالیات‌دهنده خاکستری» می‌پرسد که چرا باید برای حل چنین معماهایی به ریاضیدانان پول بدهد؟

پاسخ بسیار ساده است. چنین "پازل هایی" که به خودی خود جالب هستند، "بخشی از چیز جدی تر" هستند. به هر حال، رژه‌های نظامی تنها بخشی خارجی و دیدنی از یک خدمت دشوار است. من فقط یک مثال می زنم، اما با یک موضوع ریاضی عجیب اما شناخته شده بین المللی شروع می کنم. در سال 1852 یک دانشجوی انگلیسی از استاد خود پرسید که آیا می توان نقشه ای را با چهار رنگ رنگ آمیزی کرد تا کشورهای همسایه همیشه با رنگ های مختلف نشان داده شوند؟ اجازه دهید اضافه کنم که ما آنهایی را که فقط در یک نقطه ملاقات می کنند، مانند ایالت های وایومینگ و یوتا در ایالات متحده، "همسایگان" نمی دانیم. استاد نمی دانست... و مشکل بیش از صد سال منتظر راه حل بود.

8. Icosahedron از بلوک های RECO. بازتابنده‌های فلاش نشان می‌دهند که ایکوز وجهی با مثلث و پنج ضلعی مشترک است. در هر رأس پنج مثلث همگرا می شوند.

به شکلی غیر منتظره اتفاق افتاد. در سال 1976، گروهی از ریاضیدانان آمریکایی برنامه ای برای حل این مشکل نوشتند (و آنها تصمیم گرفتند: بله، چهار رنگ همیشه کافی خواهد بود). این اولین اثبات یک واقعیت ریاضی بود که با کمک یک "ماشین ریاضی" به دست آمد - همانطور که یک کامپیوتر نیم قرن پیش نامیده می شد (و حتی قبل از آن: "مغز الکترونیکی").

در اینجا یک "نقشه اروپا" به طور ویژه نشان داده شده است (شکل. 9). کشورهایی که مرز مشترک دارند به هم متصل هستند. رنگ آمیزی نقشه مانند رنگ آمیزی دایره های این نمودار (به نام گراف) است به طوری که هیچ دایره ای به هم همرنگ نباشد. نگاهی به لیختن اشتاین، بلژیک، فرانسه و آلمان نشان می دهد که سه رنگ کافی نیست. در صورت تمایل Reader آن را با چهار رنگ رنگ آمیزی کنید.

9. چه کسی در اروپا با چه کسی مرز دارد؟

خوب، بله، اما آیا ارزش پول مالیات دهندگان را دارد؟ بنابراین بیایید به همان نمودار کمی متفاوت نگاه کنیم. فراموش کنید که ایالت ها و مرزها وجود دارد. بگذارید دایره ها نماد بسته های اطلاعاتی برای ارسال از یک نقطه به نقطه دیگر باشند (مثلاً از P به EST)، و بخش ها نشان دهنده اتصالات احتمالی هستند که هر کدام پهنای باند خاص خود را دارند. ارسال در اسرع وقت؟

ابتدا، بیایید به یک موقعیت بسیار ساده، اما همچنین بسیار جالب از دیدگاه ریاضی نگاه کنیم. ما باید چیزی را از نقطه S (= به عنوان شروع) به نقطه M (= پایان) با استفاده از یک شبکه اتصال با همان پهنای باند، مثلاً 1 ارسال کنیم. ما این را در شکل. 10.

10. شبکه اتصالات از Statsyika Zdrój به Megapolis.

بیایید تصور کنیم که حدود 89 بیت اطلاعات باید از S به M ارسال شود. نویسنده این کلمات مشکلات مربوط به قطارها را دوست دارد، بنابراین تصور می کند که او یک مدیر در Stacie Zdrój است و از آنجا باید 144 واگن بفرستد. به ایستگاه متروپلیس چرا دقیقا 144؟ زیرا همانطور که خواهیم دید، از این برای محاسبه توان عملیاتی کل شبکه استفاده خواهد شد. ظرفیت در هر لات 1 است، یعنی یک ماشین در واحد زمان می تواند عبور کند (یک بیت اطلاعات، احتمالاً گیگابایت).

بیایید مطمئن شویم که همه ماشین‌ها به طور همزمان در M ملاقات می‌کنند. همه در 89 واحد زمان به آنجا می‌رسند. اگر یک بسته اطلاعاتی بسیار مهم از S به M برای ارسال داشته باشم، آن را به گروه های 144 واحدی تقسیم می کنم و مانند بالا آن را وارد می کنم. ریاضی تضمین می کند که این سریع ترین خواهد بود. از کجا فهمیدم که شما به 89 نیاز دارید؟ من در واقع حدس زدم، اما اگر حدس نمی زدم، باید آن را کشف می کردم معادلات کیرشهوف (آیا کسی به یاد دارد؟ - اینها معادلاتی هستند که جریان جریان را توصیف می کنند). پهنای باند شبکه 184/89 است که تقریباً برابر با 1,62 است.

در مورد شادی

به هر حال، من شماره 144 را دوست دارم. دوست داشتم با اتوبوس با این شماره به میدان قلعه در ورشو بروم - زمانی که قلعه سلطنتی بازسازی شده در کنار آن وجود نداشت. شاید خوانندگان جوان بدانند که دوجین چیست. این 12 نسخه است، اما فقط خوانندگان مسن تر آن را به یاد می آورند که یک دوجین، یعنی. 122=144 این به اصطلاح لات است. و هرکسی که ریاضیات را کمی بیشتر از برنامه درسی مدرسه بداند، بلافاصله آن را درک خواهد کرد شکل. 10 ما اعداد فیبوناچی داریم و پهنای باند شبکه نزدیک به "عدد طلایی" است.

در دنباله فیبوناچی، 144 تنها عددی است که مربع کامل است. صد و چهل و چهار نیز «عدد شادی‌بخش» است. اینگونه است که یک ریاضیدان آماتور هندی داتاتریا راماچاندرا کاپرکار او در سال 1955 اعدادی را نام برد که بر مجموع ارقام تشکیل دهنده آنها بخش پذیرند:

اگر می دانست آدام میکیویچاو مطمئناً در Dzyady نه می‌نوشت: «از مادری غریب. خون او قهرمانان قدیمی اوست / و نام او چهل و چهار، فقط زیباتر: و نام او صد و چهل و چهار است.

سرگرمی را جدی بگیرید

امیدوارم خوانندگان را متقاعد کرده باشم که پازل های سودوکو جنبه سرگرم کننده سوالاتی هستند که مطمئناً شایسته جدی گرفتن هستند. من نمی توانم این موضوع را بیشتر از این توسعه دهم. اوه، محاسبه پهنای باند شبکه کامل از نمودار ارائه شده در شکل. 9 نوشتن یک سیستم معادلات دو یا چند ساعت - شاید حتی ده ها ثانیه (!) کار کامپیوتری طول می کشد.