مقاله در مورد هیچ

در کودکی، من مجذوب داستانی بودم که احتمالاً برای بسیاری از خوانندگان شناخته شده است، درباره "سوپ روی میخ". مادربزرگم (قرن XNUMX از تولد) این را به من گفت: "قزاق آمد و آب خواست، زیرا میخ دارد و روی آن سوپ می پزد." مهماندار کنجکاو یک قابلمه آب به او داد... و ما می دانیم که بعداً چه اتفاقی افتاد: "سوپ باید شور باشد، ننه، ننه، نمک"، سپس گوشت را شست "برای بهبود طعم" و غیره. در پایان میخ «جوشیده» را دور انداخت.

بنابراین این مقاله قرار بود در مورد خالی بودن فضا باشد - و این در مورد فرود یک دستگاه اروپایی بر روی دنباله دار 67P / چوریوموف-گراسیمنکو در 12 نوامبر 2014 است. اما هنگام نوشتن، تسلیم یک عادت دیرینه شدم. من هنوز یک ریاضی دان هستم. با چطوره پسندیدنс صفر ریاضیات؟

چگونه هیچ چیز وجود ندارد؟

نمی توان گفت که هیچ چیز وجود ندارد. حداقل به عنوان یک مفهوم فلسفی، ریاضی، مذهبی و کاملا محاوره ای وجود دارد. صفر یک عدد معمولی است، صفر درجه روی دماسنج نیز یک دما است و موجودی صفر در بانک یک اتفاق ناخوشایند اما رایج است. توجه داشته باشید که هیچ سال صفر در گاهشماری وجود ندارد، و این به این دلیل است که صفر تنها در اواخر قرون وسطی، دیرتر از گاهشماری پیشنهاد شده توسط راهب دیونیسیوس (قرن XNUMX) وارد ریاضیات شد.

به اندازه کافی عجیب، ما واقعاً می توانستیم بدون این صفر و بنابراین بدون اعداد منفی کار کنیم. در یکی از کتاب های درسی منطق، تمرینی پیدا کردم: نقاشی بکش یا بگو غیبت ماهی را چگونه تصور می کنی. شگفت انگیز است، اینطور نیست؟ هر کسی می تواند یک ماهی بکشد، اما نه؟

حالا به طور خلاصه درس ریاضی پایه. اعطای امتیاز وجود به مجموعه خالی که با دایره خط ∅ علامت گذاری شده است، یک روش ضروری مشابه با اضافه کردن صفر به مجموعه اعداد است. مجموعه خالی تنها مجموعه ای است که حاوی هیچ عنصری نیست. چنین مجموعه هایی:

اما دو مجموعه خالی متفاوت وجود ندارد. مجموعه خالی در هر مجموعه دیگری گنجانده شده است:

در واقع، قواعد منطق ریاضی می گوید که مجموعه A در مجموعه B موجود است اگر و فقط اگر جمله:

مستلزم آن است

در مورد مجموعه خالی ∅، گزاره همیشه نادرست است، و بنابراین، طبق قوانین منطق، استلزام به طور کلی صادق است. همه چیز از یک دروغ سرچشمه می گیرد ("در اینجا من یک کاکتوس پرورش خواهم داد اگر به کلاس بعدی بروید ..."). بنابراین، از آنجایی که مجموعه خالی در هر یک از مجموعه های دیگر وجود دارد، پس اگر آنها دو مجموعه متفاوت بودند، هر کدام در دیگری گنجانده می شد. با این حال، اگر دو مجموعه در داخل یکدیگر قرار گیرند، آنها با هم برابر هستند. به همین دلیل: فقط یک مجموعه خالی وجود دارد!

فرض وجود یک مجموعه خالی با هیچ قوانین ریاضی در تضاد نیست، پس چرا آن را زنده نکنیم؟ اصل فلسفی به نامتیغ اوکام» دستوری برای حذف مفاهیم غیر ضروری، اما درست مفهوم مجموعه خالی در ریاضیات بسیار مفید است. توجه داشته باشید که مجموعه خالی دارای ابعاد 1- (منهای یک) است - عناصر صفر بعدی نقاط و سیستم های پراکنده آنها، عناصر یک بعدی خطوط هستند و در فصل فراکتال ها در مورد عناصر ریاضی بسیار پیچیده با بعد فراکتال صحبت کردیم. .

جالب است که کل ساختمان ریاضیات: اعداد، اعداد، توابع، عملگرها، انتگرال ها، دیفرانسیل ها، معادلات ... را می توان از یک مفهوم مشتق کرد - یک مجموعه خالی! کافی است فرض کنیم که یک مجموعه خالی وجود دارد، عناصر جدید ایجاد شده را می توان در مجموعه ها ترکیب کرد تا بتوان تمام ریاضیات را بسازید. اینگونه بود که منطقدان آلمانی گوتلوب فرگه اعداد طبیعی را ساخت. صفر دسته ای از مجموعه هاست که عناصر آن با عناصر مجموعه خالی مطابقت متقابل دارند. یکی دسته ای از مجموعه ها است که عناصر آن با عناصر مجموعه ای که تنها عنصر آن مجموعه خالی است مطابقت متقابل دارند. دو دسته ای از مجموعه ها هستند که عناصر آن یک به یک با عناصر مجموعه متشکل از مجموعه خالی و مجموعه ای که تنها عنصر آن مجموعه خالی است ... و غیره است. در نگاه اول، به نظر می رسد این چیزی بسیار پیچیده است، اما در واقع اینطور نیست.

آبی روی من پخش شد

بوی هدر می داد و بوی نعناع...

وویچ ملینارسکی، دختر برداشت

تصورش سخت است

تصور هیچ چیز سخت نیست. در داستان استانیسلاو لم "چگونه جهان نجات یافت"، طراح ترورل ماشینی ساخت که همه کارها را با یک نامه انجام می داد. زمانی که کلاپاوسیوس دستور ساخت آن را داد NIC، دستگاه شروع به حذف اشیاء مختلف از جهان کرد - با هدف نهایی حذف همه چیز. زمانی که کلاپاوسیوس ترسیده ماشین را متوقف کرد، گالی ها، سرخدارها، حلق آویز کردن، هک ها، قافیه ها، کوبنده ها، پوف ها، آسیاب ها، سیخ ها، فیلدرون ها و یخبندان برای همیشه از جهان ناپدید شدند. و در واقع آنها برای همیشه ناپدید شدند ...

یوزف تیشنر در تاریخ فلسفه کوهستان به خوبی درباره نیستی نوشته است. در آخرین تعطیلاتم، تصمیم گرفتم این نیستی را تجربه کنم، یعنی به باتلاق های ذغال سنگ نارس بین Nowy Targ و Jabłonka در Podhale رفتم. به این منطقه حتی پسته نیز می گویند. می روی، می روی، اما جاده کاهش نمی یابد - البته، در مقیاس متوسط ​​و لهستانی ما. یک روز در استان ساسکاچوان کانادا سوار اتوبوس شدم. بیرون مزرعه ذرت بود. نیم ساعتی چرت زدم. وقتی از خواب بیدار شدم، در حال رانندگی در همان مزرعه ذرت بودیم... اما صبر کنید، اینجا خالی است؟ به یک معنا، فقدان تغییر فقط پوچی است.

ما به حضور دائمی اشیاء مختلف در اطراف خود عادت کرده ایم و از یه چیزی حتی با چشمان بسته هم نمی توانی فرار کنی دکارت گفت: فکر می کنم، پس هستم. اگر قبلاً به چیزی فکر کرده باشم، پس وجود دارم، به این معنی که حداقل چیزی در جهان وجود دارد (یعنی من). آیا آنچه من فکر می کردم وجود دارد؟ این را می توان مورد بحث قرار داد، اما در مکانیک کوانتومی مدرن، اصل هایزنبرگ شناخته شده است: هر مشاهده وضعیت جسم مشاهده شده را مختل می کند. تا ما آن را ببینیم NIC وجود ندارد و هنگامی که ما شروع به نگاه کردن می کنیم، شی دیگر وجود ندارد پسندیدن و می شود یه چیزی. داره پوچ میشه اصل انسان دوستی: فایده ای ندارد که بپرسیم اگر ما نبودیم دنیا چگونه بود. دنیا همان چیزی است که به نظر ما می رسد. شاید موجودات دیگر زمین را زاویه دار ببینند؟

پوزیترون (چنین الکترون مثبتی) حفره ای در فضا است، «الکترونی وجود ندارد». در فرآیند نابودی، الکترون به داخل این سوراخ می پرد و "هیچ اتفاقی نمی افتد" - هیچ حفره ای وجود ندارد، هیچ الکترونی وجود ندارد. من از شوخی های زیادی در مورد سوراخ های پنیر سوئیسی صرف نظر می کنم ("هر چه بیشتر داشته باشم ، کمتر وجود دارد ..."). آهنگساز معروف جان کیج قبلاً به حدی از ایده های خود استفاده کرده بود که (؟) یک قطعه موسیقی (؟) ساخت که در آن ارکستر 4 دقیقه و 33 ثانیه بی حرکت می نشیند و البته چیزی نمی نوازد. آهنگساز (؟) توضیح داد: "چهار دقیقه و سی و سه ثانیه دویست و هفتاد و سه، 273 و منهای 273 درجه صفر مطلق است که در آن تمام حرکات متوقف می شود."

فیلتر به صفر، هیچ، نیک، نیک، هیچ، صفر!

یرزی در فیلم آندری وایدا در طول سالها،

روزها می گذرد"

همه چطور؟

بسیاری از مردم (از کشاورزان ساده گرفته تا فیلسوفان برجسته) در مورد پدیده هستی تعجب کردند. در ریاضیات، وضعیت ساده است: چیزی وجود دارد که سازگار است.

او در زمین های حاشیه ای ناپدید شد

در گل های ذرت، علف های هرز و دهان شیر ...

خب اینجور چیزا پیش میاد

به خصوص در زمان برداشت و در هنگام برداشت

بخصوص…

وویچ ملینارسکی، دختر برداشت

همه چیز در انتهای دیگر هیچ است. در ریاضیات این را می دانیم همه چیز وجود ندارد. این تصور بسیار نادرست است که وجود او عاری از بحث و جدل است. این را می توان با مثال پارادوکس قدیمی فهمید: "اگر خدا قادر مطلق است، پس سنگی برای برداشتن ایجاد کنید؟" اثبات ریاضی مبنی بر اینکه نمی‌توان مجموعه‌هایی از همه مجموعه‌ها وجود داشت، بر اساس قضیه است خواننده-برشتاین، که می گوید "یک عدد بی نهایت" (ریاضی: عدد اصلی) مجموعه همه اعضای یک مجموعه معین از تعداد عناصر این مجموعه بیشتر است.

اگر مجموعه ای دارای عناصر است، آنگاه دارای 2 استⁿ زیر مجموعه ها به عنوان مثال، وقتی = 3 و مجموعه از {1، 2، 3} تشکیل شده باشد، زیر مجموعه های زیر وجود دارند:

• سه مجموعه دو عنصری: در هر یک از آنها یکی از اعداد 1، 2، 3 وجود ندارد،
• یک مجموعه خالی،
• سه مجموعه تک عنصری،
• کل مجموعه {1,2,3،XNUMX،XNUMX}

- فقط هشت، 2³و خوانندگانی که اخیراً از مدرسه فارغ التحصیل شده اند ، می خواهم فرمول مربوطه را یادآوری کنم:

هر یک از نمادهای نیوتنی در این فرمول، تعداد مجموعه‌های k-element در مجموعه -element را تعیین می‌کند.

در ریاضیات، ضرایب دوجمله‌ای در بسیاری از مکان‌های دیگر ظاهر می‌شوند، مانند فرمول‌های جالب برای ضرب کاهش‌یافته:

و از شکل دقیق آنها، وابستگی متقابل آنها بسیار جالب تر است.

درک اینکه - تا آنجا که به منطق و ریاضیات مربوط می شود - چیست و همه چیز چیست دشوار است. استدلال برای عدم وجود دقیقاً مانند استدلال وینی پو که مودبانه از مهمان خود، ببر پرسید، آیا ببرها اصلاً عسل، بلوط و خار را دوست دارند؟ "ببرها همه چیز را دوست دارند" پاسخ داد که کوبوس از آن نتیجه گرفت که اگر همه چیز را دوست دارند، پس آنها نیز دوست دارند روی زمین بخوابند، بنابراین، وی، وینی، می تواند به رختخواب برگردد.

استدلال دیگر پارادوکس راسل. یک آرایشگر در شهر است که تمام مردانی را که خودشان اصلاح نمی کنند، اصلاح می کند. خودش را اصلاح می کند؟ هر دو پاسخ با شرط مطرح شده در تضاد است که کسانی و فقط کسانی که خودشان این کار را انجام نمی دهند ذبح می شوند.

به دنبال مجموعه ای از همه مجموعه ها

در خاتمه، من یک شواهد هوشمندانه، اما ریاضی ترین اثبات می کنم که هیچ مجموعه ای از همه مجموعه ها وجود ندارد (با آن اشتباه گرفته نشود).

ابتدا، نشان خواهیم داد که برای هر مجموعه غیر خالی X، یافتن یک تابع متقابل منحصر به فرد که این مجموعه را به مجموعه زیرمجموعه های آن P(X) نگاشت غیرممکن است. بنابراین بیایید فرض کنیم که این تابع وجود دارد. بیایید آن را با f سنتی نشان دهیم. f از x چیست؟ این یک مجموعه است. آیا xf متعلق به x است؟ این ناشناخته است. یا مجبوری یا نه. اما برای برخی از x باید همچنان به گونه ای باشد که به f از x تعلق نداشته باشد. خوب، سپس مجموعه ای از تمام x را در نظر بگیرید که x برای آنها به f(x) تعلق ندارد. آن را (این مجموعه) را با A مشخص کنید. با عنصر a از مجموعه X مطابقت دارد. آیا a متعلق به A است؟ بیایید فرض کنیم شما باید. اما A مجموعه ای است که فقط شامل آن دسته از عناصر x است که به f(x) تعلق ندارند... خوب، شاید به A تعلق نداشته باشد؟ اما مجموعه A شامل تمام عناصر این ویژگی است و از این رو A. پایان اثبات نیز وجود دارد.

بنابراین اگر مجموعه ای از همه مجموعه ها وجود داشت، خودش زیر مجموعه ای از خودش بود که با توجه به استدلال قبلی محال است.

فئو، فکر نمی کنم بسیاری از خوانندگان این مدرک را دیده باشند. در عوض، من آن را مطرح کردم تا نشان دهم که ریاضیدانان در پایان قرن نوزدهم، زمانی که شروع به مطالعه پایه های علم خود کردند، چه کاری باید انجام می دادند. معلوم شد که مشکلات در جایی است که هیچ کس انتظار آنها را نداشت. علاوه بر این، برای کل ریاضیات، این استدلال در مورد مبانی مهم نیست: مهم نیست در سرداب ها چه اتفاقی می افتد - کل ساختمان ریاضیات روی یک سنگ جامد قرار دارد.

در همین حال در بالای ...

ما به یک اخلاق دیگر از داستان های استانیسلاو لم اشاره می کنیم. ایون تیچی در یکی از سفرهای خود به سیاره ای رسید که ساکنان آن پس از مدت ها تکامل، سرانجام به بالاترین مرحله تکامل رسیدند. همه آنها قوی هستند، می توانند هر کاری انجام دهند، همه چیز را در دست دارند... و هیچ کاری نمی کنند. روی ماسه دراز می کشند و بین انگشتانشان می ریزند. آنها به ایجون شوکه شده توضیح می دهند: "اگر همه چیز ممکن است، ارزشش را ندارد." باشد که این اتفاق برای تمدن اروپایی ما نیفتد...