رمز و جاسوس

در گوشه ریاضی امروز، قصد دارم نگاهی به موضوعی بیندازم که در اردوی علمی سالانه بنیاد ملی کودکان برای بچه‌ها بحث کردم. این بنیاد به دنبال کودکان و جوانان با علایق علمی است. لازم نیست که بسیار با استعداد باشید، اما باید یک "رشته علمی" داشته باشید. نمرات بسیار خوب مدرسه مورد نیاز نیست. امتحان کنید، شاید این را پسندیدید. اگر دانش آموز دبیرستانی یا دبیرستانی هستید، درخواست دهید. معمولاً والدین یا مدرسه گزارش می دهند، اما همیشه اینطور نیست. وب سایت بنیاد را پیدا کنید و پیدا کنید.

در مدرسه بیشتر و بیشتر در مورد "کد نویسی" صحبت می شود، با اشاره به فعالیتی که قبلا به عنوان "برنامه نویسی" شناخته می شد. این یک روش معمول برای مربیان نظری است. آنها روش های قدیمی را حفاری می کنند، نام جدیدی به آنها می دهند و "پیشرفت" خود به خود حاصل می شود. چندین حوزه وجود دارد که چنین پدیده چرخه ای در آنها رخ می دهد.

می توان نتیجه گرفت که من ارزش آموزشی را بی ارزش می کنم. خیر در توسعه تمدن، گاهی به آنچه بود، رها شده بود و اکنون در حال احیا است، برمی گردیم. اما گوشه ما ریاضی است نه فلسفی.

تعلق به یک جامعه خاص نیز به معنای «نمادهای مشترک»، قرائت ها، گفته ها و تمثیل های رایج است. کسی که زبان لهستانی را کاملاً آموخته است "در Szczebrzeszyn یک انبوه بزرگ وجود دارد، یک سوسک در نیزارها وزوز می کند" اگر به این سؤال پاسخ ندهد که دارکوب چه می کند، فوراً به عنوان جاسوس یک کشور خارجی افشا می شود. البته داره خفه میشه!

این فقط یک شوخی نیست. در دسامبر 1944، آلمانی ها آخرین حمله خود را در آردن با هزینه های هنگفت آغاز کردند. آنها سربازانی را که به زبان انگلیسی روان صحبت می کردند بسیج کردند تا حرکت نیروهای متفقین را مختل کنند، مثلاً با هدایت آنها در مسیر اشتباه در چهارراه ها. پس از لحظه‌ای غافلگیری، آمریکایی‌ها شروع به پرسیدن سؤالات مشکوک از سربازان کردند که پاسخ آنها برای شخصی از تگزاس، نبراسکا یا جورجیا واضح و برای کسی که در آنجا بزرگ نشده بود غیرقابل تصور بود. ناآگاهی از واقعیت ها مستقیماً منجر به اعدام شد.

به نقطه. من به خوانندگان کتاب لوکاس بادوسکی و زاسلاو آداماشک "آزمایشگاه در کشوی میز - ریاضیات" را توصیه می کنم. این کتاب فوق العاده ای است که به طرز درخشانی نشان می دهد که ریاضیات واقعاً برای چیزی مفید است و "آزمایش ریاضی" کلمات خالی نیست. این شامل، در میان چیزهای دیگر، ساخت توصیف شده از "معمای مقوایی" است - دستگاهی که ساخت آن تنها پانزده دقیقه طول می کشد و مانند یک ماشین رمزگذاری جدی کار می کند. خود این ایده بسیار شناخته شده بود، نویسندگان ذکر شده آن را به زیبایی کار کردند، و من آن را کمی تغییر می دهم و آن را در لباس های ریاضی بیشتری می پیچم.

اره برقی

در یکی از خیابان های روستای ویلا من در حومه ورشو، سنگفرش اخیراً از "trlinka" - تخته های سنگفرش شش ضلعی جدا شد. سواری ناراحت کننده بود، اما روح ریاضیدان شاد شد. پوشاندن صفحه با چند ضلعی های منظم (یعنی منظم) آسان نیست. این فقط می تواند مثلث، مربع و شش ضلعی منظم باشد.

شاید من با این شادی معنوی کمی شوخی کردم، اما شش ضلعی شکل زیبایی است. از آن می توانید یک دستگاه رمزگذاری نسبتاً موفق بسازید. هندسه کمک خواهد کرد. شش ضلعی دارای تقارن چرخشی است - هنگامی که مضربی از 60 درجه می چرخد ​​روی خود همپوشانی دارد. فیلدی که برای مثال با حرف A در سمت چپ بالا مشخص شده است شکل. 1 پس از چرخش از این زاویه، آن را نیز در جعبه A قرار می گیرد - و همین طور با حروف دیگر. پس بیایید شش مربع را از شبکه برش دهیم که هر کدام حرف متفاوتی دارند. توری به دست آمده از این طریق را روی یک ورق می گذاریم. در شش فیلد آزاد، شش حرف از متنی را که می خواهیم رمزگذاری کنیم وارد کنید. بیایید ورق را 60 درجه بچرخانیم. شش فیلد جدید ظاهر می شود - شش حرف بعدی پیام ما را وارد کنید.

برنج. 1. Trlinks از لذت از ریاضیات.

به سمت راست شکل. 1 ما متنی داریم که به این صورت رمزگذاری شده است: "یک لوکوموتیو بخار سنگین بزرگ در ایستگاه وجود دارد."

حالا کمی ریاضی مدرسه مفید خواهد بود. از چند طریق می توان دو عدد را نسبت به یکدیگر مرتب کرد؟

چه سوال احمقانه ای برای دو نفر: یا یکی جلو یا دیگری.

خوب. و سه عدد؟

فهرست کردن تمام تنظیمات نیز دشوار نیست:

123، 132، 213، 231، 312، 321.

خوب، آن را برای چهار! هنوز می توان آن را به وضوح بیان کرد. قانون ترتیبی که گذاشتم را حدس بزنید:

1234، 1243، 14شماره ۱۰۲۹، 4123، 1324، 1342,

14شماره ۱۰۲۹، 4132، 2134، 2143، 24شماره ۱۰۲۹، 4شماره ۱۰۲۹،

2314، 2341، 24شماره ۱۰۲۹، 4231، 3124، 3142,

34شماره ۱۰۲۹، 4312، 3214، 3241، 34شماره ۱۰۲۹، 4321

وقتی ارقام پنج شدند، 120 تنظیمات ممکن را دریافت می کنیم. به آنها زنگ بزنیم جایگشت. تعداد جایگشت های ممکن n عدد حاصل ضرب 1 2 3 ... n است که نامیده می شود قوی و با علامت تعجب مشخص می شود: 3!=6، 4!=24، 5!=120. برای عدد 6 بعدی 6 داریم!=720. ما از این برای پیچیده تر کردن سپر رمز شش ضلعی خود استفاده خواهیم کرد.

ما یک جایگشت از اعداد از 0 تا 5 را انتخاب می کنیم، به عنوان مثال 351042. دیسک تقلبی شش ضلعی ما دارای یک خط تیره در قسمت میانی است - به طوری که می توان آن را "در موقعیت صفر" قرار داد - مانند شکل یک خط تیره به سمت بالا. 1. دیسک را به این ترتیب روی کاغذی که باید گزارش خود را روی آن بنویسیم می گذاریم، اما بلافاصله آن را نمی نویسیم، بلکه آن را سه بار 60 درجه (یعنی 180 درجه) می چرخانیم و شش حرف وارد می کنیم. فیلدهای خالی به موقعیت شروع باز می گردیم. صفحه را پنج بار 60 درجه می چرخانیم، یعنی پنج "دندان" صفحه مان. چاپ می کنیم. موقعیت بعدی مقیاس موقعیتی است که 60 درجه حول صفر چرخیده است. موقعیت چهارم 0 درجه است، این موقعیت شروع است.

فهمیدی چی شد؟ ما یک فرصت اضافی داریم - بیش از هفتصد بار "ماشین" خود را پیچیده کنیم! بنابراین، ما دو موقعیت مستقل از "اتومات" داریم - انتخاب شبکه و انتخاب جایگشت. شبکه را می توان به 66 = 46656 روش انتخاب کرد، جایگشت 720. این 33592320 احتمال را می دهد. بیش از 33 میلیون رمز! تقریباً کمی کمتر، زیرا برخی از شبکه ها را نمی توان از کاغذ برش داد.

در قسمت پایین شکل. 1 ما یک پیام با کد زیر داریم: "من برای شما چهار لشکر چتر نجات می فرستم." به راحتی می توان فهمید که دشمن نباید از این موضوع مطلع شود. اما آیا او هر یک از این ها را می فهمد:

ТПОРОПВМАНВЕОРДИЗЗ

یلواکومدیچش،

حتی با امضای 351042؟

ما در حال ساخت انیگما، یک ماشین رمز آلمانی هستیم

برنج. 2. نمونه ای از راه اندازی اولیه ماشین رمزگذاری ما.

جایگشت (AF) (BJ) (CL) (DW) (EI) (GT) (HO) (KS) (MX) (NU) (PZ) (RY).

همانطور که قبلاً اشاره کردم ، ایده ایجاد چنین دستگاه مقوایی را مدیون کتاب "آزمایشگاه در کشو - ریاضیات" هستم. "ساخت" من تا حدودی با آنچه نویسندگان آن ارائه کرده اند متفاوت است.

ماشین رمزی که آلمانی‌ها در طول جنگ استفاده می‌کردند، یک اصل مبتکرانه ساده داشت، تا حدودی شبیه به چیزی که با رمز هگزا دیدیم. هر بار یک چیز مشابه: شکستن تخصیص سخت یک حرف به حرف دیگر. باید قابل تعویض باشد. چگونه این کار را انجام دهیم تا بتوانیم روی آن کنترل داشته باشیم؟

بیایید هیچ جایگشتی را انتخاب نکنیم، بلکه یکی را انتخاب کنیم که دارای چرخه‌هایی به طول 2 باشد. بیایید روی 24 حرف توافق کنیم - بدون ą, ę, ć, ó, ń, ś, ó, ż, ź, v, q. چند جاگشت از این دست؟ این یک وظیفه برای فارغ التحصیلان دبیرستان است (آنها باید بتوانند فوراً آن را حل کنند). چند تا؟ بسیاری از؟ هزاران؟ آره:

1912098225024001185793365052108800000000 (حتی سعی نکنیم این شماره را بخوانیم). امکانات زیادی برای تنظیم موقعیت "صفر" وجود دارد. و ممکن است سخت باشد.

دستگاه ما از دو دیسک گرد تشکیل شده است. روی یکی از آنها که هنوز پابرجاست، حروفی نوشته شده است. این کمی شبیه شماره گیری یک تلفن قدیمی است که با چرخاندن کامل صفحه، شماره ای را گرفته اید. روتاری دومین مورد با طرح رنگ است. ساده ترین راه این است که آنها را با استفاده از یک سنجاق روی چوب پنبه معمولی قرار دهید. به جای چوب پنبه، می توانید از یک تخته نازک یا مقوای ضخیم استفاده کنید. Lukasz Badowski و Zasław Adamaszek توصیه می کنند که هر دو دیسک را در جعبه CD قرار دهید.

تصور کنید می خواهیم کلمه ARMATY را رمزگذاری کنیم (برنج. 2 و 3). دستگاه را در موقعیت صفر قرار دهید (فلش به بالا). حرف A مربوط به F است. مدار داخلی را یک حرف به راست بچرخانید. ما حرف R را داریم که باید رمزگذاری کنیم، حالا با A مطابقت دارد. بعد از چرخش بعدی می بینیم که حرف M مطابق با U است. چرخش بعدی (نمودار چهارم) مطابقت A - P را نشان می دهد. در شماره گیری پنجم ما T را داریم. - A. در نهایت (دایره ششم) Y – Y دشمن احتمالاً حدس نخواهد زد که CFCFA های ما برای او خطرناک هستند. و "ما" چگونه ارسال را خواهد خواند؟ آنها باید یک ماشین داشته باشند، همان "برنامه ریزی"، یعنی با همان جایگشت. رمز از موقعیت صفر شروع می شود. بنابراین مقدار F A است. صفحه را در جهت عقربه های ساعت بچرخانید. حرف A اکنون با R مرتبط است. او صفحه را به سمت راست می چرخاند و زیر حرف U M و غیره را پیدا می کند. کارمند رمز به سمت ژنرال می دود: "ژنرال، من گزارش می دهم، اسلحه ها می آیند!"

برنج. 3. اصل عملکرد مقاله ما Enigma.

برنج. 3. اصل عملکرد مقاله ما Enigma.

حتی احتمالات چنین Enigma ابتدایی شگفت انگیز است. ما می توانیم جایگشت های خروجی دیگری را انتخاب کنیم. ما می‌توانیم - و حتی فرصت‌های بیشتری در اینجا وجود دارد - نه با یک "سریف" به طور منظم، بلکه به ترتیب معین و روزانه در حال تغییر، شبیه به یک شش ضلعی (مثلاً ابتدا سه حرف، سپس هفت، سپس هشت، چهار ... .. و غیره .).

چگونه می توان حدس زد؟! و با این حال برای ریاضیدانان لهستانی (ماریان ریوسکی, هنریک زیگالسکی, یرژی روزیکی) اتفاق افتاد. اطلاعات به دست آمده از این طریق بسیار ارزشمند بود. قبلاً آنها سهم به همان اندازه در تاریخ دفاع ما داشتند. واسلاو سرپینسکی i استانیسلاو مازورکویچکه در سال 1920 قوانین نیروهای روسیه را نقض کرد. کابل رهگیری به Piłsudski این فرصت را داد تا مانور معروف را از رودخانه Vepsz انجام دهد.

واسلاو سیرپینسکی (1882-1969) را به یاد دارم. او مانند ریاضیدانی به نظر می رسید که دنیای بیرون برای او وجود نداشت. او به دلایل نظامی و سیاسی نمی توانست در مورد مشارکت خود در پیروزی در سال 1920 صحبت کند (مقامات جمهوری خلق لهستان کسانی را که از ما در برابر اتحاد جماهیر شوروی دفاع می کردند خوششان نمی آمد).

برنج. 4. جایگشت (AP) (BF) (CM) (DS) (EW) (GY) (HK) (IU) (JX) (LZ) (NR) (OT).

برنج. 5. دکوراسیون زیبا، اما برای رمزگذاری مناسب نیست. خیلی منظم.

شغل 1. Na شکل. 4 شما جایگشت دیگری برای ایجاد Enigma دارید. طراحی را در زیرگراف کپی کنید. یک ماشین بسازید، نام و نام خانوادگی خود را رمزگذاری کنید. CWONUE JTRYGT من. اگر می خواهید یادداشت های خود را خصوصی نگه دارید، از Cardboard Enigma استفاده کنید.

شغل 2. نام و نام خانوادگی یکی از "ماشین هایی" را که دیدید رمزگذاری کنید، اما (توجه!) با یک پیچیدگی اضافی: ما نه یک بریدگی به سمت راست، بلکه طبق طرح {1، 2، 3، 2، 1، 2، 3، 2، 1، ....} - یعنی ابتدا توسط یک، سپس توسط دو، سپس توسط سه، سپس توسط 2، سپس دوباره توسط 1، سپس توسط 2، و غیره، چنین "موجک" . مطمئن شوید که نام و نام خانوادگی من به عنوان CZTTAK SDBITH رمزگذاری شده است. حالا متوجه شدید که دستگاه انیگما چقدر قدرتمند بود؟

حل مسئله برای فارغ التحصیلان دبیرستان. چند گزینه پیکربندی برای Enigma (در این نسخه، همانطور که در مقاله توضیح داده شد)؟ ما 24 حرف داریم. ما اولین جفت حروف را انتخاب می کنیم - این کار را می توان انجام داد

راه ها. جفت بعدی را می توان در انتخاب کرد

راه ها، بیشتر

و غیره. پس از محاسبات مربوطه (همه اعداد باید ضرب شوند)، دریافت می کنیم

151476660579404160000

سپس آن عدد را بر 12 تقسیم کنید! (12 فاکتوریل)، زیرا جفت های مشابه را می توان با ترتیب متفاوتی به دست آورد. بنابراین در پایان ما "کل" را دریافت می کنیم

شماره ۱۰۲۹،

این رقم کمی بیش از 300 میلیارد است که برای ابرکامپیوترهای امروزی عدد فوق العاده بزرگی به نظر نمی رسد. با این حال، اگر ترتیب تصادفی خود جایگشت ها در نظر گرفته شود، این عدد به طور قابل توجهی افزایش می یابد. ما همچنین می توانیم به انواع دیگری از جایگشت فکر کنیم.

همچنین ببینید: