مربع های رنگی و خورشید گرفتگی

این مقاله کلاس های من را برای دانش آموزان دوره راهنمایی - دارندگان بورسیه صندوق ملی کودکان توضیح می دهد. این بنیاد به دنبال کودکان و جوانان با استعداد ویژه (از کلاس XNUMX دبستان تا دبیرستان) است و به دانش آموزان منتخب "بورسیه تحصیلی" ارائه می دهد. با این حال، آنها به هیچ وجه شامل برداشت پول نقد نیستند، بلکه مراقبت همه جانبه برای رشد استعدادها، به عنوان یک قاعده، طی سالیان متمادی است. برخلاف بسیاری از پروژه‌های دیگر از این دست، دانشمندان، چهره‌های فرهنگی، انسان‌شناسان برجسته و دیگر خردمندان و برخی سیاستمداران، بخش‌های بنیاد را جدی می‌گیرند.

فعالیت‌های بنیاد شامل همه رشته‌هایی است که دروس پایه مدرسه هستند، به جز ورزش، از جمله هنر. این صندوق در سال 1983 به عنوان پادزهری برای واقعیت آن زمان ایجاد شد. هر کسی می تواند به صندوق (معمولاً از طریق یک مدرسه، ترجیحاً قبل از پایان سال تحصیلی) درخواست دهد، اما، البته، یک غربال خاص، یک روش صلاحیت خاص وجود دارد.

همانطور که قبلاً اشاره کردم، مقاله بر اساس کلاس های کارشناسی ارشد من است، به طور خاص در Gdynia، در مارس 2016، در 24 دبیرستان راهنمایی در دبیرستان III. نیروی دریایی. سال‌هاست که این سمینارها تحت نظارت بنیاد توسط Wojciech Thomalczyk، معلمی با کاریزمای فوق‌العاده و سطح فکری بالا، برگزار می‌شود. در سال 2008، او وارد ده نفر برتر لهستان شد که به آنها عنوان استاد آموزش (که سال ها پیش توسط قانون ارائه شده بود) اعطا شد. در این جمله اندکی مبالغه وجود دارد: «آموزش و پرورش محور جهان است».

و ماه همیشه جذاب هستند - پس می توانید احساس کنید که ما در یک سیاره کوچک در فضایی عظیم زندگی می کنیم، جایی که همه چیز در حرکت است و در سانتی متر و ثانیه اندازه گیری می شود. حتی من را کمی می ترساند، همچنین چشم انداز زمانی. می دانیم که گرفت کامل بعدی که از ناحیه ورشو امروزی قابل مشاهده است، در سال 2681 خواهد بود. تعجب می کنم که چه کسی آن را خواهد دید؟ اندازه های ظاهری خورشید و ماه در آسمان ما تقریباً یکسان است - به همین دلیل است که خسوف ها بسیار کوتاه و تماشایی هستند. برای قرن‌ها، آن دقیقه‌های کوتاه باید برای منجمان کافی باشد تا تاج خورشیدی را ببینند. عجیب است که آنها دو بار در سال رخ می دهند ... اما این فقط به این معنی است که در جایی از زمین می توان آنها را برای مدت کوتاهی دید. در نتیجه حرکات جزر و مدی، ماه در حال دور شدن از زمین است - در 260 میلیون سال آنقدر دور خواهد شد که ما (ما ???) فقط گرفتگی های حلقوی خواهیم دید.

ظاهراً اولین کسی است که پیش بینی می کند کسوف، تالس از میلتوس (قرن 28-585 قبل از میلاد) بود. ما احتمالاً نمی دانیم که آیا واقعاً اتفاق افتاده است یا خیر، یعنی آیا او آن را پیش بینی کرده است یا خیر، زیرا این واقعیت که کسوف در آسیای صغیر در ماه مه 567 سال 566 قبل از میلاد رخ داده است، واقعیتی است که توسط محاسبات مدرن تأیید شده است. البته، من داده‌های مربوط به حساب امروزی را ذکر می‌کنم. وقتی بچه بودم تصور می کردم مردم چگونه سال ها را می شمارند. بنابراین، برای مثال، XNUMX سال قبل از میلاد است، شب سال نو در راه است و مردم شادی می کنند: فقط XNUMX سال قبل از میلاد! وقتی بالاخره «دوران ما» فرا رسید، چقدر باید خوشحال بودند! چه چرخش هزاره ای که چند سال پیش تجربه کردیم!

ریاضی محاسبه تاریخ و محدوده کسوف، به خصوص پیچیده نیست، اما مملو از انواع عوامل مرتبط با منظم بودن و حتی بدتر از آن، با حرکت ناهموار بدن در مدار است. من حتی دوست دارم این ریاضی را بدانم. چگونه تالس از میلتوس می توانست محاسبات لازم را انجام دهد؟ پاسخ ساده است. شما باید یک نقشه آسمان داشته باشید. چگونه می توان چنین نقشه ای ساخت؟ این نیز دشوار نیست، مصریان باستان می دانستند که چگونه این کار را انجام دهند. در نیمه شب، دو کشیش به پشت بام معبد می آیند. هر کدام از آنها می نشیند و آنچه را که می بیند (مثل همکارش) می کشد. پس از دو هزار سال، ما همه چیز را در مورد حرکت سیارات می دانیم ...

هندسه زیبا یا سرگرمی روی "قالیچه"

یونانی ها اعداد را دوست نداشتند، آنها به هندسه متوسل شدند. این کاری است که ما انجام خواهیم داد. ما کسوف آنها ساده، رنگارنگ، اما به همان اندازه جالب و واقعی خواهند بود. ما این قرارداد را می پذیریم که شکل آبی به گونه ای حرکت می کند که قرمز را می گیرد. بیایید شکل آبی را ماه و شکل قرمز را خورشید بنامیم. سوالات زیر را از خود می پرسیم:

1. ماه گرفتگی چقدر طول می کشد؛
2. هنگامی که نیمی از هدف پوشیده شده است.

   برنج. 1 "فرش" چند رنگ با خورشید و ماه

3. حداکثر پوشش چقدر است
4. آیا می توان وابستگی پوشش سپر را به زمان تجزیه و تحلیل کرد؟ در این مقاله (محدودیت متن را محدود کرده ام) به سوال دوم می پردازم. پشت این یک هندسه خوب است، شاید بدون محاسبات خسته کننده. بیایید به انجیر نگاه کنیم. 1. آیا می توان فرض کرد که با ... خورشید گرفتگی همراه باشد؟

باید صادقانه بگویم که وظایفی که من در مورد آنها صحبت خواهم کرد به طور ویژه انتخاب می شوند و با دانش و مهارت های دانش آموزان راهنمایی و دبیرستان سازگار می شوند. اما ما روی کارهایی تمرین می کنیم که نوازندگان ترازو می نوازند و ورزشکاران تمرینات رشدی کلی را انجام می دهند. علاوه بر این، آیا این فقط یک فرش زیبا نیست (شکل 1)؟

برنج. 2 ماه "آبی" و خورشید "قرمز".

اجرام آسمانی ما، حداقل در ابتدا، مربع های رنگی خواهند بود. ماه آبی است، خورشید قرمز است (بهترین رنگ برای رنگ آمیزی). با حال کسوف ماه خورشید را در سراسر آسمان تعقیب می کند، می رسد ... و آن را می بندد. در مورد ما هم همینطور خواهد بود. ساده ترین حالت، زمانی که ماه نسبت به خورشید حرکت می کند، همانطور که در شکل نشان داده شده است. 2. گرفتگی زمانی شروع می شود که لبه قرص ماه با لبه قرص خورشید برخورد می کند (شکل 2) و زمانی که از آن فراتر می رود پایان می یابد.

برنج. 3 ماه به صورت مورب به خورشید نزدیک می شود

ما فرض می کنیم که "ماه" در هر واحد زمان یک سلول حرکت می کند، به عنوان مثال، در دقیقه. سپس ماه گرفتگی هشت واحد زمان، مثلاً دقیقه، طول می کشد. نیم خورشید گرفتگی کاملاً کم نور نیمه صفحه دو بار بسته می شود: بعد از 2 و 6 دقیقه. نمودار درصد تاریکی ساده است. در طول دو دقیقه اول، سپر به طور مساوی با سرعت صفر تا 1 بسته می شود، دو دقیقه بعد با همان سرعت در معرض دید قرار می گیرد.

در اینجا یک مثال جالب تر است (شکل 3). ماه به صورت مورب به خورشید نزدیک می شود. طبق قرارداد پرداخت در دقیقه ما، ماه گرفتگی 8√ طول می کشد2 دقیقه - در میانه این زمان ما یک ماه گرفتگی کامل داریم. بیایید محاسبه کنیم که پس از زمان t چه بخشی از خورشید پوشیده شده است (شکل 3). اگر t دقیقه از آغاز خسوف گذشته باشد و در نتیجه ماه مانند شکل زیر باشد. 5، سپس (توجه!) بنابراین، (مساحت مربع APQR)، برابر با نیمی از قرص خورشیدی پوشیده شده است؛ بنابراین، زمانی پوشیده شده است، یعنی. بعد از 4 دقیقه (سپس 4 دقیقه قبل از پایان ماه گرفتگی).

برنج. 4 نمودار تابع "سایه زدن".

کلیت یک لحظه طول می کشد (t = 4√2) و نمودار تابع "بخش سایه دار" از دو کمان سهمی تشکیل شده است (شکل 4).

ماه آبی ما گوشه ای را با خورشید قرمز لمس می کند، اما آن را می پوشاند، نه به صورت مورب، بلکه کمی مورب. هندسه جالب زمانی ظاهر می شود که حرکت را کمی پیچیده کنیم (شکل 6). جهت حرکت اکنون بردار [4,3،XNUMX] است، یعنی "چهار سلول به سمت راست، سه سلول به بالا." موقعیت خورشید به گونه ای است که خسوف زمانی آغاز می شود (موقعیت A) زمانی که اضلاع "اجرام آسمانی" به یک چهارم طول آنها همگرا می شوند. وقتی ماه به موقعیت B می‌رود، یک ششم خورشید را می‌گیرد و در موقعیت C نصف آن را می‌گیرد. در موقعیت D، ما یک ماه گرفتگی کامل داریم، و سپس همه چیز به عقب برمی گردد، «همانطور که بود».

برنج. 5 بخشی از خورشید در زمان t پنهان شده است

خسوف زمانی پایان می‌یابد که ماه در موقعیت G باشد. تا زمانی که ماه ادامه داشت طول بخش AG. اگر مانند قبل، زمانی را که ماه در آن "یک مربع" می گذرد را واحد زمان در نظر بگیریم، طول AG برابر است. اگر به قرارداد قبلی برگردیم که اجرام آسمانی ما 4 در 4 هستند، نتیجه متفاوت می شد (چه؟). همانطور که نشان دادن آن آسان است، هدف بعد از t < 15 بسته می شود. نمودار تابع "درصد پوشش صفحه" را می توان در شکل مشاهده کرد. 6.

برنج. 6 نمودار تابع "درصد حفاظت".

معادله کسوف و پرش

برنج. 7 انسداد قرص خورشید در هنگام خسوف نشان داده شده در شکل. 6

اگر مورد دایره ها را در نظر نگیریم، مشکل کسوف ناقص خواهد بود. این بسیار پیچیده‌تر است، اما بیایید سعی کنیم بفهمیم چه زمانی یک دایره نیمی از دایره دیگر را می‌گیرد - و در ساده‌ترین حالت، زمانی که یکی از آنها در امتداد قطر حرکت می‌کند که هر دو را به هم متصل می‌کند. این نقاشی برای دارندگان برخی از کارت های اعتباری آشنا است.

محاسبه موقعیت میدان ها پیچیده است، زیرا اولاً به دانش فرمول مساحت یک قطعه دایره ای نیاز دارد، ثانیاً دانش قوس زاویه و سوم (و بدتر از همه) توانایی برای حل یک معادله پرش مشخص من توضیح نمی دهم که "معادله گذرا" چیست، بیایید به یک مثال نگاه کنیم (شکل 8).

برنج. 8 خورشید گرفتگی "کروی".

بخش دایره ای "کاسه" است که پس از بریدن دایره با خط مستقیم باقی می ماند. مساحت چنین قطعه ای S = 1/2r است²(φ-sinφ)، که r شعاع دایره است، و φ زاویه مرکزی است که قطعه بر روی آن قرار دارد (شکل 8). این به راحتی با کم کردن مساحت مثلث از ناحیه بخش دایره ای به دست می آید.

اپیزود O₁O₂ (فاصله بین مراکز دایره ها) برابر 2rcosφ/2 و ارتفاع (عرض، "خط کمر") h = 2rsinφ/2 است. بنابراین، اگر بخواهیم محاسبه کنیم که ماه چه زمانی نیمی از قرص خورشیدی را می پوشاند، باید این معادله را حل کنیم: که پس از ساده سازی، تبدیل به:

برنج. 9 نمودار دو تابع

حل چنین معادلاتی فراتر از جبر ساده است - معادله شامل هر دو زاویه و توابع مثلثاتی آنها است. معادله فراتر از دسترس روش های سنتی است. به همین دلیل به آن می گویند پرش. بیایید ابتدا به نمودارهای هر دو تابع یعنی توابع و توابع نگاه کنیم، می‌توانیم یک جواب تقریبی را از این شکل بخوانیم. با این حال، می‌توانیم یک تقریب تکراری دریافت کنیم یا از گزینه Solver در صفحه گسترده اکسل استفاده کنیم. هر دانش آموز دبیرستانی باید بتواند این کار را انجام دهد، زیرا قرن بیستم است. من از ابزار پیچیده تری Mathematica استفاده کردم و در اینجا راه حل ما با 20 رقم اعشار با دقت غیر ضروری است:

SetPrecision [FindRoot [x == Sin [x] + Pi / 2, {x, 2}], 20] {x⇒2.3098814600100574523}.

برنج. 10 انیمیشن کسوف در matematica

این را با ضرب در 180/π به درجه تبدیل می کنیم. ما 132 درجه، 20 دقیقه، 45 و یک چهارم قوس ثانیه به دست می آوریم. ما محاسبه می کنیم که فاصله تا مرکز دایره O است₁O₂ = 0,808 شعاع، و "کمر" 2,310.