به دنیای غیر واقعی ریاضیات سفر کنید

من این مقاله را یک چهارشنبه بعد از سخنرانی و تمرین در یک کالج علوم کامپیوتر نوشتم. من از خود در برابر انتقاد دانش آموزان این مدرسه، دانش، نگرش آنها نسبت به علم و مهمتر از همه: مهارت های یادگیری دفاع می کنم. این ... هیچ کس به آنها یاد نمی دهد.

چرا من اینقدر حالت دفاعی دارم؟ به یک دلیل ساده - من در سنی هستم که احتمالاً دنیای اطراف من هنوز درک نشده است. شاید من به آنها یاد بدهم که چگونه اسب ها را مهار و از بند خارج کنند، به جای رانندگی با ماشین؟ شاید به آنها یاد بدهم که با خودکار بنویسند؟ اگر چه من نظر بهتری نسبت به شخص دارم، اما معتقدم که "فالو" می کنم، اما...

تا همین اواخر، در دبیرستان درباره اعداد مختلط صحبت می کردند. و در همین چهارشنبه بود که من به خانه آمدم، ترک کردم - تقریباً هیچ یک از دانش آموزان هنوز یاد نگرفته بودند که چیست و چگونه از این اعداد استفاده کنند. برخی از مردم به تمام ریاضیات مانند غازی به در نقاشی شده نگاه می کنند. اما وقتی آنها به من گفتند چگونه یاد بگیرم واقعاً شگفت زده شدم. به عبارت ساده، هر ساعت سخنرانی دو ساعت مطالعه در خانه است: مطالعه کتاب درسی، آموزش اولیه در حل مسائل در یک موضوع خاص و غیره. پس از آماده شدن به این روش، به تمرین‌ها می‌رسیم، جایی که همه چیز را بهبود می‌بخشیم... خوشایند، دانش‌آموزان ظاهراً فکر می‌کردند که نشستن در یک سخنرانی - اغلب به بیرون از پنجره نگاه می‌کنند - از قبل تضمین می‌کند که دانش وارد ذهن می‌شود.

متوقف کردن! بس است. من پاسخ خود را به سوالی که در کلاسی با همکاران صندوق ملی کودکان دریافت کردم، توضیح خواهم داد، موسسه ای که از کودکان با استعداد از سراسر کشور حمایت می کند. سوال (یا بهتر است بگوییم پیشنهاد) این بود:

- ممکن است چیزی در مورد اعداد غیر واقعی به ما بگویید؟

جواب دادم: «البته. 

واقعیت اعداد

فیثاغورث گفت: "دوست من دیگری است، دوستی نسبت اعداد 220 و 284 است." نکته اینجاست که مجموع مقسوم علیه های عدد 220 برابر با 284 و مجموع مقسوم علیه های عدد 284 برابر با 220 است:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220 = XNUMX

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. به هر حال توجه داشته باشید که یعقوب کتاب مقدس 220 گوسفند و قوچ را به عنوان نشانه دوستی به عیسو داد (پیدایش 32:14).

همزمانی جالب دیگر بین اعداد 220 و 284 این است: هفده عدد اول بالاترین 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 37، 41، 43، 47، 53، و 59.

مجموع آنها 2x220 و مجموع مربع ها 59x284 است.

اولین. هیچ مفهومی از "عدد واقعی" وجود ندارد. مثل این است که بعد از خواندن مقاله ای در مورد فیل ها از شما می پرسید: "حالا ما برای غیر فیل ها درخواست می کنیم." کلی و ناقص، عقلانی و غیرمنطقی وجود دارد، اما غیرواقعی وجود ندارد. به طور مشخص: اعدادی که واقعی نیستند نامعتبر نمی گویند. انواع مختلفی از "اعداد" در ریاضیات وجود دارد، و آنها به اندازه یک فیل و یک کرم خاکی - برای مقایسه جانورشناسی - با یکدیگر متفاوت هستند.

دوم، ما عملیاتی را انجام خواهیم داد که ممکن است از قبل می‌دانید ممنوع هستند: جذر گرفتن اعداد منفی. خوب، ریاضیات بر چنین موانعی غلبه خواهد کرد. آیا این منطقی است؟ در ریاضیات، مانند هر علم دیگری: اینکه آیا یک نظریه برای همیشه وارد مخزن دانش می شود یا خیر، به کاربرد آن بستگی دارد. اگر بی فایده باشد، در سطل زباله و سپس در سطل زباله در تاریخ دانش تمام می شود. بدون اعدادی که در پایان این مقاله در مورد آنها صحبت می کنم، توسعه ریاضیات غیرممکن است. اما بیایید با چند چیز کوچک شروع کنیم. شما می دانید اعداد واقعی چیست. آنها خط اعداد را محکم و بدون شکاف پر می کنند. شما همچنین می دانید که اعداد طبیعی چیست: 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10، 11، 12، 13، 14، 15، …….. - همه آنها در آن جا نمی شوند. حافظه حتی بزرگترین آنها همچنین یک نام زیبا دارند: طبیعی. آنها خواص بسیار جالبی دارند. چگونه این را دوست دارید:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

کارل لیندنهولم و لئوپولد کرونکر (1823-1891) می‌گویند: «این طبیعی است که به اعداد طبیعی علاقه داشته باشیم.» کسرها (که توسط ریاضیدانان اعداد گویا نامیده می شوند) نیز دارای خواص شگفت انگیزی هستند:

و در برابری:

می توانید با شروع از سمت چپ، نقاط مثبت را بمالید و آنها را با علائم ضرب جایگزین کنید - و برابری درست باقی می ماند:

و به همین ترتیب.

همانطور که مشخص است، برای کسرهای a/b، که در آن a و b اعداد صحیح و b ≠ 0 هستند، می گویند عدد گویا. اما آنها فقط خود را به زبان لهستانی اینگونه می نامند. آنها به زبان های انگلیسی، فرانسوی، آلمانی و روسی صحبت می کنند. عدد گویا. به انگلیسی: اعداد گویا. اعداد گنگ این غیر منطقی است، غیر منطقی است. ما همچنین به زبان لهستانی درباره نظریه‌ها، ایده‌ها و اعمال غیرمنطقی صحبت می‌کنیم - این دیوانگی، خیالی، غیرقابل توضیح است. آنها می گویند که زنان از موش می ترسند - چقدر غیر منطقی است؟

در زمان های قدیم اعداد روح داشتند. هر یک به معنای چیزی بود، هر یک نماد چیزی بود، هر یک ذره ای از آن هماهنگی جهان، یعنی به یونانی، کیهان را منعکس می کرد. کلمه "کیهان" خود به معنای "نظم، نظم" است. مهمترین آنها شش (عدد کامل) و ده بودند که مجموع اعداد متوالی 1+2+3+4 از اعداد دیگری تشکیل شده بود که نماد آنها تا به امروز باقی مانده است. بنابراین فیثاغورث تعلیم داد که اعداد سرآغاز و سرچشمه همه چیز و فقط کشف هستند اعداد گنگ حرکت فیثاغورث را به سمت هندسه سوق داد. ما استدلال را از مدرسه می دانیم که

√2 - عدد غیر منطقی

برای فرض کنید که وجود دارد: و این کسر را نمی توان کاهش داد. به طور خاص، هر دو p و q فرد هستند. بیایید آن را مربع کنیم: 2q²=p². عدد p نمی تواند فرد باشد، از آن زمان p² نیز خواهد بود، و در سمت چپ تساوی مضربی از 2 وجود دارد. بنابراین، p زوج است، یعنی p = 2r، بنابراین p²= 4r². معادله 2q را کاهش می دهیم²= 4r² با 2. q را بدست می آوریم²= 2r² و می بینیم که q نیز باید زوج باشد و فرض کردیم که چنین نبود. تناقض حاصل، اثبات را کامل می کند - این فرمول اغلب در هر کتاب ریاضی یافت می شود. این اثبات غیرمستقیم تکنیک مورد علاقه سوفسطائیان است.

فیثاغورثی ها این عظمت را نمی توانستند درک کنند. همه چیز را باید بتوان با اعداد توصیف کرد و مورب مربعی که هر کسی می تواند آن را با چوب روی شن بکشد، طول ندارد، یعنی قابل اندازه گیری است. به نظر می رسد فیثاغورثی ها می گویند: "ایمان ما بیهوده بود." چطور؟ یه جورایی... غیر منطقی. اتحادیه سعی کرد با روش های فرقه ای خود را نجات دهد. هر کسی که جرات کند وجود خود را آشکار کند اعداد گنگ، قرار بود به اعدام محکوم شود و ظاهراً اولین حکم توسط خود استاد اجرا شده است.

اما "فکر بدون آسیب گذشت." دوران طلایی فرا رسیده است. یونانی ها ایرانی ها را شکست دادند (ماراتون 490، پلاخه 479). دموکراسی تقویت شد، مراکز جدید تفکر فلسفی و مکاتب جدید پدید آمدند. پیروان فیثاغورث هنوز با اعداد غیرمنطقی دست و پنجه نرم می کردند. برخی موعظه کردند: ما این راز را درک نمی کنیم. ما فقط می توانیم به آن فکر کنیم و Uncharted را تحسین کنیم. دومی عملگراتر بودند و به راز احترام نمی گذاشتند. در آن زمان دو سازه ذهنی ظاهر شد که درک اعداد غیر منطقی را ممکن می ساخت. این واقعیت که ما امروزه آنها را به خوبی درک می کنیم متعلق به ادوکسوس (قرن XNUMX قبل از میلاد) است و تنها در پایان قرن نوزدهم، ریچارد ددکیند، ریاضیدان آلمانی، نظریه یودکسوس را مطابق با الزامات منطق دقیق ریاضی توسعه داد.

تعداد زیاد یا شکنجه

آیا می توانید بدون اعداد زندگی کنید؟ حتی اگر، چه نوع زندگی ... ما باید برای خرید کفش با چوب، که قبلا طول پا را با آن اندازه می گرفتیم، به فروشگاه می رفتیم. "من سیب می خواهم، اوه، اینجاست!" - فروشندگان را در بازار نشان می دادیم. «از Modlin تا Nowy Dwór Mazowiecki چقدر فاصله است؟» "خیلی نزدیک!"

برای اندازه گیری از اعداد استفاده می شود. ما همچنین از آنها برای بیان بسیاری از مفاهیم دیگر استفاده می کنیم. به عنوان مثال، مقیاس نقشه نشان می دهد که مساحت کشور چقدر کاهش یافته است. مقیاس دو به یک، یا به سادگی 2، بیانگر این واقعیت است که چیزی دو برابر شده است. بیایید از نظر ریاضی بگوییم: هر همگنی مربوط به یک عدد - مقیاس آن است.

وظیفه. ما یک کپی زیروگرافیک تهیه کردیم و تصویر را چندین بار بزرگ کردیم. سپس قطعه بزرگ شده دوباره b برابر شد. مقیاس بزرگنمایی عمومی چیست؟ پاسخ: a × b ضرب در b. این مقیاس ها باید چند برابر شوند. عدد منهای یک، -1، مربوط به یک دقت است که در مرکز قرار دارد، یعنی یک چرخش 180 درجه. چه عددی مربوط به چرخش 90 درجه است؟ چنین عددی وجود ندارد. هست، هست... یا بهتر است بگوییم به زودی خواهد بود. آیا برای شکنجه روحی آماده اید؟ شجاع باشید و جذر منهای یک را بگیرید. دارم گوش میدم؟ چه کاری نمی توانید انجام دهید؟ بالاخره بهت گفتم شجاع باش بیرونش کن! هی، خوب، بکش، بکش... من کمک می کنم... اینجا: -1 حالا که آن را داریم، بیایید سعی کنیم از آن استفاده کنیم... البته، اکنون می توانیم ریشه همه اعداد منفی را بگیریم، برای مثال.:

√-4 = 2√-1، √-16 = 4√-1

- صرف نظر از درد و رنج روانی که این امر مستلزم آن است. این همان چیزی است که ژیرولامو کاردانو در سال 1539 نوشت، در تلاش برای غلبه بر مشکلات ذهنی مرتبط با - همانطور که به زودی نامیده شد - مقادیر خیالی. اینجوری فکر کرد...

...وظیفه. 10 را به دو قسمت تقسیم کنید که حاصلضرب آن برابر با 40 است. یادم هست از قسمت قبل چیزی شبیه به این نوشته بود: واضح است که غیرممکن است. با این حال، اجازه دهید این کار را انجام دهیم: 10 را به دو قسمت مساوی تقسیم کنید، هر کدام برابر با 5. آنها را ضرب کنید - 25 به دست می آوریم. اکنون از 25 حاصل، اگر دوست دارید، 40 را کم می کنیم و به -15 می رسیم. حالا نگاه کنید: √-15 جمع و تفریق از 5 حاصل ضرب 40 را به شما می دهد. این اعداد 5-√-15 و 5 + √-15 هستند. نتیجه توسط کاردانو به شرح زیر تأیید شد:

صرف نظر از ناراحتی ذهنی که به دنبال دارد، 5 + √-15 را در 5-√-15 ضرب کنید. 25 – (-15) بدست می آوریم که برابر است با 25 + 15. پس حاصلضرب 40 است…. واقعا سخت است."

خوب، چقدر است: (1 + √-1) (1-√-1)؟ بیایید ضرب کنیم. به یاد داشته باشید که √-1 × √-1 = -1. عالی. اکنون یک مشکل دشوارتر: از a + b√-1 تا ab√-1. چی شد؟ البته به این صورت: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

چه چیزی در این مورد جالب است؟ برای مثال، این واقعیت که می‌توانیم عباراتی را که «قبلاً نمی‌دانستیم» فاکتور کنیم. فرمول ضرب مختصر برای²-b² احتمالا فرمول آن را به خاطر دارید²+b² این اتفاق نیفتاد زیرا نمی توانست اتفاق بیفتد. در حوزه اعداد حقیقی، چند جمله ای²+b² این اجتناب ناپذیر است بیایید جذر «منهای یک» را با حرف i نشان دهیم.²= -1. این یک عدد اول "غیر واقعی" است. و این چیزی است که چرخش 90 درجه ای هواپیما را توصیف می کند. چرا؟ گذشته از همه اینها،²= -1 و ترکیب یک چرخش 90 درجه با چرخش مشابه دیگری چرخش 180 درجه ایجاد می کند. چه نوع چرخشی توصیف می شود؟ واضح است - چرخش 45 درجه. عدد -i به چه معناست؟ کمی پیچیده تر است:

(-من)² = -i × (-i) = + i² = -1،XNUMX

بنابراین -i نیز یک چرخش 90 درجه را توصیف می کند، درست در جهت مخالف چرخش i. کدام چپ و کدام راست؟ شما باید یک قرار ملاقات بگذارید. فرض می کنیم که عدد i چرخش را در جهتی که ریاضیدانان مثبت می دانند، مشخص می کند: خلاف جهت عقربه های ساعت. عدد -i چرخش را در جهت حرکت نشانگرها توصیف می کند.

اما آیا اعدادی مانند i و -i وجود دارند؟ هستند! ما به سادگی آنها را زنده کردیم. دارم گوش میدم؟ که آنها فقط در سر ما وجود دارند؟ خوب چه انتظاری باید داشت؟ همه اعداد دیگر نیز فقط در ذهن ما وجود دارند. ما باید ببینیم که آیا تعداد نوزادان ما زنده خواهند ماند یا خیر. به طور دقیق تر، آیا طراحی منطقی است و آیا آنها برای چیزی مفید هستند؟ لطفاً حرف من را قبول کنید که همه چیز خوب است و این اعداد جدید واقعاً مفید هستند. اعدادی مانند 3+i، 5-7i، به شکل کلی تر: a+bi را اعداد مختلط می گویند. من به شما نشان دادم که چگونه می توانید آنها را با چرخاندن هواپیما بدست آورید. آنها را می توان به روش های مختلف وارد کرد: به عنوان نقاط یک صفحه، به عنوان چند جمله ای خاص، به عنوان آرایه های عددی خاص ... و هر بار آنها یکسان هستند: معادله x² +1=0 هیچ عنصری وجود ندارد... hocus pocus از قبل وجود دارد!!!! شادی کنیم و شادی کنیم!!!

پایان تور

این اولین تور ما در سرزمین اعداد جعلی را به پایان می رساند. از دیگر اعداد غیرزمینی، من به آنهایی هم اشاره می کنم که بی نهایت رقم در جلو و نه پشت (به آنها 10-adic گفته می شود، برای ما p-adic مهمتر است، جایی که p یک عدد اول است)، برای مثال X = ... ... ... 96109004106619977392256259918212890625

لطفا X بشماریم². زیرا؟ اگر مجذور عددی را محاسبه کنیم که بی نهایت رقم پشت آن است؟ خب بیایید همین کار را بکنیم. بیایید دریابیم که X² = اچ.

بیایید عدد دیگری را با تعداد نامتناهی رقم در جلو پیدا کنیم که معادله را برآورده کند. نکته: مربع عددی که به شش ختم می شود نیز به شش ختم می شود. مربع عددی که به 76 ختم می شود نیز به 76 ختم می شود. مربع عددی که به 376 ختم می شود نیز به 376 ختم می شود. مربع عددی که به 9376 ختم می شود نیز به 9376 ختم می شود. اعدادی نیز وجود دارند که آنقدر کوچک هستند که با وجود مثبت بودن، از هر عدد مثبت دیگری کوچکتر می مانند. آنها به قدری ریز هستند که گاهی برای به دست آوردن صفر کافی است آنها را مربع کنید. اعدادی هستند که شرط a × b = b × a را برآورده نمی کنند. تعداد بی نهایت نیز وجود دارد. چند عدد طبیعی وجود دارد؟ بی نهایت زیاد؟ بله، اما چقدر؟ این را با چه عددی می توان بیان کرد؟ پاسخ: کوچکترین اعداد بینهایت. با یک حرف زیبا مشخص شده است: A و با یک شاخص A تکمیل شده است₀ ، الف صفر.

همچنین اعدادی هستند که ما نمی دانیم وجود دارند ... یا هر طور که شما بخواهید می توانیم آنها را باور کنیم یا باور نکنیم. و صحبت از آن: امیدوارم هنوز اعداد غیرواقعی، اعداد گونه های فانتزی را دوست داشته باشید.