چرا بر صفر تقسیم نمی کنیم؟
خوانندگان ممکن است تعجب کنند که چرا من یک مقاله کامل را به چنین موضوع پیش پا افتاده ای اختصاص می دهم؟ دلیل آن هم تعداد سرسام آور دانش آموزان (!) است که به طور اتفاقی عملیات را با نام انجام می دهند. و نه تنها دانش آموزان. گاهی اوقات من می گیرم و معلمان. شاگردان چنین معلمانی در ریاضیات چه خواهند کرد؟ دلیل فوری نوشتن این متن گفتگو با معلمی بود که تقسیم بر صفر برایش مشکلی نداشت...
با صفر، بله، به جز دردسر هیچ، زیرا واقعاً نیازی به استفاده از آن در زندگی روزمره نداریم. ما به خرید تخم مرغ صفر نمی رویم. "یک نفر در اتاق وجود دارد" به نوعی طبیعی به نظر می رسد و "صفر افراد" مصنوعی به نظر می رسد. زبان شناسان می گویند که صفر خارج از سیستم زبان است.
ما می توانیم بدون صفر در حساب های بانکی نیز این کار را انجام دهیم: فقط - مانند دماسنج - از قرمز و آبی برای مقادیر مثبت و منفی استفاده کنید (توجه داشته باشید که برای دما طبیعی است که از قرمز برای اعداد مثبت و برای حساب های بانکی استفاده کنید. برعکس است، زیرا بدهی باید یک هشدار ایجاد کند، بنابراین قرمز بسیار توصیه می شود).
با گنجاندن صفر به عنوان یک عدد طبیعی، مسئله تمایز را لمس می کنیم اعداد کاردینال od خانواده. در 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10، 11، 12، 13، 14، …..
قدرت عدد برابر با عدد مکانی است که در آن قرار دارد. در غیر این صورت، از قبل در دنباله 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10، 11، 12، 13، 14، ….
تعداد ست های تک تن در رتبه دوم، تعداد ست های دارای دو عنصر در رتبه سوم قرار می گیرند و غیره. باید توضیح دهیم که چرا مثلاً در مسابقات جایگاه های ورزشکاران را از صفر شماره گذاری نمی کنیم. سپس برنده مقام اول یک مدال نقره دریافت می کرد (طلا به نفر صفر می رسید) و به همین ترتیب. روش مشابهی در فوتبال استفاده می شد - نمی دانم آیا خوانندگان می دانند که "لیگ یک" به معنای " دنبال بهترین ها.» ، و لیگ صفر نامیده می شود تا به "لیگ اصلی" تبدیل شود.
گاهی اوقات این استدلال را می شنویم که باید از صفر شروع کنیم، زیرا برای افراد IT راحت است. با ادامه این ملاحظات، تعریف کیلومتر باید تغییر کند - باید 1024 متر باشد، زیرا این تعداد بایت در یک کیلوبایت است (من به شوخی معروف برای دانشمندان رایانه اشاره می کنم: "تفاوت بین یک دانشجوی سال اول و چیست؟ دانشجوی رشته کامپیوتر و دانشجوی سال پنجم این دانشکده؟که یک کیلوبایت 1000 کیلوبایت است، آخرین - که یک کیلومتر 1024 متر است")!
دیدگاه دیگری که از قبل باید جدی گرفته شود این است: ما همیشه از صفر اندازه گیری می کنیم! کافی است به هر ترازو روی خط کش، در ترازوی خانگی، حتی روی ساعت نگاه کنید. از آنجایی که ما از صفر اندازه گیری می کنیم و شمارش را می توان به عنوان اندازه گیری با یک واحد بدون بعد فهمید، پس باید از صفر بشماریم.
موضوع ساده ای است اما ...
بیایید استدلال کلی را رها کنیم و به تقسیم بر صفر برگردیم. موضوع ساده است و اگر نبود... پس چه؟ بیایید فکر کنیم و تلاش کنیم. چقدر می تواند باشد - یک تقسیم بر صفر؟ بیایید ببینیم: 1/0 = x. هر دو طرف را در مخرج سمت چپ ضرب کنید.
1=0 می گیریم. یه چیزی اشتباهه! چی شد؟ آه حدس بزن! فرض وجود ضریب وحدت و صفر منجر به تناقض می شود. و اگر نتوان یکی را بر صفر تقسیم کرد، عدد دیگری می تواند. اگر، خواننده، شانه های خود را بالا انداخته اید و تعجب می کنید که چرا نویسنده (یعنی من) در مورد چنین چرندیاتی می نویسد، پس ... بسیار خوشحالم!
از فرمول 0/0 = 0 می‌توان به طور سرسختانه دفاع کرد، اما با این قانون که نتیجه تقسیم یک عدد به خودش برابر با یک است، در تضاد است. کاملاً، اما کاملاً متفاوت از نمادهایی مانند 0/0، °/° و مانند آن در حساب دیفرانسیل و انتگرال هستند. آنها به معنای هیچ عددی نیستند، بلکه نشانه های نمادین برای دنباله های خاصی از انواع خاص هستند.
در یک کتاب مهندسی برق، مقایسه جالبی پیدا کردم: تقسیم بر صفر به اندازه برق با ولتاژ بالا خطرناک است. این طبیعی است: قانون اهم می گوید که نسبت ولتاژ به مقاومت برابر با جریان است: V = U / R. اگر مقاومت صفر بود، از نظر تئوری یک جریان بی نهایت از هادی عبور می کرد و همه هادی های ممکن را می سوزاند.
یک بار در مورد خطرات تقسیم بر صفر برای هر روز هفته شعری نوشتم. یادم می آید که دراماتیک ترین روز پنجشنبه بود اما حیف همه کارهایم در این زمینه.
وقتی چیزی را بر صفر تقسیم می کنید
دوشنبه خیلی زود
هفته چه اتفاقی افتاد
شما قبلاً به طرز بدی شکست خورده اید.
وقتی سه شنبه بعد از ظهر
شما در مخرج صفر قرار می دهید
اونوقت بهت میگم اشتباه میکنی
ریاضی دان بد!
وقتی از صفر، از طریق انحراف،
می خوام چهارشنبه جدا بشیم
دچار دردسرهای زیادی خواهید شد
یونجه و آب تو سرت هست!
فلان بارتک با ما بود.
او با قوانین مخالف بود.
در روز پنجشنبه بر صفر بخش پذیر است.
او دیگر بین ما نیست!
اگر آرزوی عجیبی تو را فرا گرفت
روز جمعه را بر صفر تقسیم کنید
من صادقانه خواهم گفت، من صادقانه خواهم گفت:
شروع بد این آخر هفته
وقتی صفر است، جایی در روز شنبه
تقسیم کننده مال شما خواهد بود (پررنگ نیست)
زیر حصار کلیسا زانو بزنید.
این رستاخیز توست.
آیا زیر خط تیره صفر می خواهید،
یکشنبه را تعطیل کنید
گچ، تخته سیاه بیاورید.
بنویسید: بر صفر بخش پذیر نیست!
صفر با پوچی و نیستی همراه است. در واقع، او به ریاضیات به عنوان کمیتی رسید که وقتی به هیچکدام اضافه شود، آن را تغییر نمی دهد: x + 0 = x. اما اکنون صفر در چندین مقدار دیگر ظاهر می‌شود، به‌ویژه به عنوان شروع مقیاس. اگر در خارج از پنجره نه دمای مثبت وجود دارد و نه یخبندان، پس ... این صفر است، که به این معنی نیست که اصلا دما وجود ندارد. بنای تاریخی کلاس صفر بنای تاریخی نیست که برای مدت طولانی تخریب شده باشد و به سادگی وجود نداشته باشد. برعکس، چیزی شبیه به واول، برج ایفل و مجسمه آزادی است.
خوب، اهمیت صفر در یک سیستم موقعیتی به سختی قابل ارزیابی است. آیا می دانید، خواننده، بیل گیتس چند صفر در حساب بانکی خود دارد؟ من نمی دانم، اما من نیمی از آن را می خواهم. ظاهراً ناپلئون بناپارت متوجه شد که مردم مانند صفر هستند: آنها از طریق موقعیت معنا پیدا می کنند. در اثر آندری وایدا در سال‌ها، همانطور که روزها می‌گذرند، هنرمند پرشور جرزی منفجر می‌شود: «فیلیستر صفر است، نیهیل، هیچ، هیچ، نیهیل، صفر». اما صفر می تواند خوب باشد: "عدم انحراف از هنجار" به این معنی است که همه چیز خوب پیش می رود، و همینطور ادامه دهید!
بیایید به ریاضیات برگردیم. صفر را می توان بدون مجازات اضافه، کم و ضرب کرد. مانیا به آنیا می گوید: "من صفر کیلوگرم اضافه کردم." آنیا پاسخ می دهد: "و این جالب است، زیرا من همان وزن را از دست دادم." پس بیایید شش وعده بستنی را شش بار بخوریم، ضرری برای ما ندارد.
ما نمی توانیم بر صفر تقسیم کنیم، اما می توانیم بر صفر تقسیم کنیم. یک بشقاب پیراشکی صفر را می توان به راحتی به کسانی که منتظر غذا هستند، داد. هر کدام چقدر می گیرند؟
صفر مثبت یا منفی نیست. این و شماره غیر مثبتи غیر منفی. نابرابری های x≥0 و x≤0 را برآورده می کند. تضاد «چیزی مثبت» «چیزی منفی» نیست، بلکه «چیزی منفی یا مساوی صفر» است. ریاضیدانان، برخلاف قواعد زبان، همیشه خواهند گفت که چیزی «برابر صفر» است نه «صفر». برای توجیه این عمل، داریم: اگر فرمول x = 0 را بخوانیم "x برابر با صفر است" آنگاه x = 1 می خوانیم "x برابر است با یک"، که می تواند بلعیده شود، اما "x = 1534267" چطور؟ ? همچنین نمی توانید مقدار عددی را به کاراکتر 0 اختصاص دهید0و نه صفر را به توان منفی برسانید. از طرفی شما می توانید به دلخواه صفر را روت کنید... و نتیجه همیشه صفر خواهد بود.
تابع نمایی y = ax، پایه مثبت a هرگز صفر نمی شود. نتیجه این است که لگاریتم صفر وجود ندارد. در واقع، لگاریتم a به پایه b توانی است که برای بدست آوردن لگاریتم a، پایه باید به آن افزایش یابد. برای a = 0، چنین شاخصی وجود ندارد و صفر نمی تواند پایه لگاریتم باشد. با این حال، صفر در "مخرج" نماد نیوتن چیز دیگری است. ما فرض می کنیم که این قراردادها منجر به تناقض نمی شود.
شواهد دروغین
تقسیم بر صفر یک موضوع رایج برای اثبات های غلط است و حتی برای ریاضیدانان با تجربه نیز اتفاق می افتد. اجازه دهید دو نمونه از نمونه های مورد علاقه خود را برای شما بیان کنم. اولی جبری است. من "ثابت می کنم" که همه اعداد برابر هستند. فرض کنید دو عدد وجود دارد که مساوی نیستند. بنابراین، یکی از آنها بزرگتر از دیگری است، بگذارید a > b. فرض کنیم که c تفاوت آنهاست
c \uXNUMXd a - b. بنابراین ما a - b = c داریم، از آنجا a = b + c.
هر دو قسمت دومی را در a - b ضرب می کنیم:
a2 – ab = ab + ac – b2 – bc.
من ak را به سمت چپ ترجمه می کنم، البته در مورد تغییر علامت یادم است:
a2 - ab - ac = ab - b2 - bc.
من عوامل مشترک را حذف می کنم:
A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c)،
من به اشتراک می گذارم و آنچه را که می خواستم دارم:
a = b.
و در واقع حتی عجیب تر، زیرا من فرض کردم که a > b، و دریافتم که a = b. اگر در مثال بالا "تقلب" آسان است، پس در اثبات هندسی زیر آن چندان آسان نیست. من ثابت خواهم کرد که ... ذوزنقه وجود ندارد. شکلی که معمولاً ذوزنقه نامیده می شود وجود ندارد.
اما ابتدا فرض کنید که چیزی به نام ذوزنقه وجود دارد (ABCD در شکل زیر). دارای دو ضلع موازی ("پایه") است. این پایه ها را همانطور که در تصویر نشان داده شده است کش می دهیم تا متوازی الاضلاع به دست بیاید. قطرهای آن مورب دیگر ذوزنقه را به قطعاتی تقسیم می کنند که طول آنها x، y، z نشان داده می شود. شکل 1. از شباهت مثلث های مربوطه، نسبت ها را به دست می آوریم:
جایی که تعریف می کنیم:
اوراز
جایی که تعریف می کنیم:
اضلاع مساوی را که با ستاره مشخص شده اند کم کنید:
با کوتاه کردن دو ضلع x − z، – a/b = 1 به دست می‌آید، به این معنی که a + b = 0. اما اعداد a، b طول پایه‌های ذوزنقه هستند. اگر مجموع آنها صفر باشد، آنها نیز صفر هستند. یعنی شکلی مثل ذوزنقه نمی تواند وجود داشته باشد! و از آنجایی که مستطیل ها، لوزی ها و مربع ها نیز ذوزنقه هستند، خواننده عزیز، لوزی، مستطیل و مربع نیز وجود ندارد ...
حدس بزنید حدس بزنید
به اشتراک گذاری اطلاعات جالب ترین و چالش برانگیزترین از چهار فعالیت اساسی است. در اینجا، برای اولین بار، با پدیده ای بسیار رایج در بزرگسالی مواجه می شویم: "جواب را حدس بزنید و سپس بررسی کنید که آیا درست حدس زده اید یا خیر." دانیل کی. دنت ("چگونه اشتباه کنیم؟"، در چگونه است - راهنمای علمی برای جهان، CiS، ورشو، 1997، این را بسیار به درستی بیان کرده است:
این روش "حدس زدن" با زندگی بزرگسالی ما تداخلی ندارد - شاید به این دلیل که ما آن را زود یاد می گیریم و حدس زدن دشوار نیست. از نظر ایدئولوژیک، همین پدیده مثلاً در استقرای ریاضی (کامل) رخ می دهد. در همان مکان، فرمول را "حدس می زنیم" و سپس بررسی می کنیم که آیا حدس ما درست است یا خیر. دانش آموزان همیشه می پرسند: "ما از کجا الگو را شناختیم؟ چطور میشه بیرونش کرد؟" وقتی دانش‌آموزان این سوال را از من می‌پرسند، سؤال آنها را به شوخی تبدیل می‌کنم: "من این را می‌دانم چون حرفه‌ای هستم، زیرا برای دانستن آن پول می‌گیرم." به دانش آموزان در مدرسه می توان به همان سبک پاسخ داد، فقط جدی تر.
ورزش. توجه داشته باشید که جمع و ضرب نوشتاری را با کمترین واحد و تقسیم را با بیشترین واحد شروع می کنیم.
ترکیبی از دو ایده
معلمان ریاضی همیشه به این نکته اشاره کرده اند که آنچه ما جدایی بزرگسالان می نامیم اتحاد دو ایده از نظر مفهومی متفاوت است: سپاه i جدایش، جدایی.
اولی (سپاه) در وظایفی رخ می دهد که کهن الگو به شرح زیر است:
تقسیم - تقسیم اینها وظایفی مانند:
? (ما سبک اصلی این مشکل را حفظ می کنیم که از کتاب راهنمای جولیان زگوزالویچ منتشر شده در کراکوف در سال 1892 گرفته شده است - złoty złoty رانی است، ارزی که تا آغاز قرن XNUMX در امپراتوری اتریش-مجارستان در گردش بود).
حال دو مشکل را در نظر بگیرید قدیمی ترین کتاب ریاضی به زبان لهستانی، پدر توماس کلوس (1538). دیویژن است یا کوپه؟ آن را به روشی حل کنید که دانش‌آموزان در قرن XNUMX باید:
(ترجمه لهستانی به لهستانی: در یک بشکه یک کوارت و چهار دیگ وجود دارد. یک دیگ چهار لیوان است. شخصی برای تجارت 20 بشکه شراب به قیمت 50 zł خرید. عوارض و مالیات (خرید مالیات؟) 8 zł خواهد بود. چقدر به برای کسب 8 zł یک کوارت بفروشید؟)
ورزش، فیزیک، همخوانی
گاهی اوقات در ورزش باید چیزی را بر صفر (نسبت گل) تقسیم کرد. خوب، داوران به نوعی با آن برخورد می کنند. با این حال، در جبر انتزاعی آنها در دستور کار قرار دارند. مقادیر غیر صفرکه مربع آن صفر است. حتی می توان آن را به سادگی توضیح داد.
تابع F را در نظر بگیرید که یک نقطه (y, 0) را با یک نقطه در صفحه (x,y) مرتبط می کند. اف چیست2، یعنی اجرای مضاعف F؟ تابع صفر - هر نقطه یک تصویر (0,0) دارد.
در نهایت، مقادیر غیر صفر که مربع آنها 0 است، تقریباً برای فیزیکدانان نان روزانه هستند، و اعدادی به شکل a + bε، که ε ≠ 0، اما ε2 = 0، ریاضیدانان تماس می گیرند اعداد دوتایی. آنها در تجزیه و تحلیل ریاضی و در هندسه دیفرانسیل رخ می دهند.
به هر حال، چیزی در حساب وجود دارد که حداقل در نام آن تقسیم بر صفر است. آمده است از تجانس. بگذارید Z مجموعه اعداد صحیح را نشان دهد. تقسیم مجموعه Z بر p به این معنی است که ما هر عدد (اعداد صحیح) را با تعدادی دیگر برابر می کنیم، یعنی با آنهایی که تفاوت آنها بر آن بخش پذیر است. بنابراین، هنگامی که ما پنج نوع اعداد مربوط به اعداد 0، 1، 2، 3، 4 داریم - باقیمانده های ممکن در هنگام تقسیم بر 5. فرمول به این صورت نوشته می شود:
mod زمانی که تفاوت چند برابر است.
برای = 2، ما فقط دو عدد داریم: 0 و 1. تقسیم اعداد صحیح به دو کلاس برابر است با تقسیم آنها به زوج و فرد. اکنون آن را جایگزین کنیم. این تفاوت همیشه بر 1 بخش پذیر است (هر عدد صحیحی بر 1 بخش پذیر است). آیا می توان =0 گرفت؟ بیایید امتحان کنیم: چه زمانی اختلاف دو عدد مضرب صفر است؟ فقط زمانی که این دو عدد برابر باشند. بنابراین تقسیم مجموعه ای از اعداد صحیح بر صفر منطقی است، اما جالب نیست: هیچ اتفاقی نمی افتد. با این حال، باید تأکید کرد که این تقسیم اعداد به معنای شناخته شده از دوره ابتدایی نیست.
چنین اعمالی به سادگی ممنوع است و همچنین ریاضیات طولانی و گسترده.
برنج. 2. شناسایی اعداد با استفاده از مقایسه
(درخت 5 و درخت 2)
