ریاضی ماشین جدید؟ الگوهای ظریف و درماندگی

به گفته برخی از کارشناسان، ماشین ها می توانند ریاضیات کاملا جدیدی را اختراع کنند یا اگر دوست دارید کشف کنند که ما انسان ها هرگز ندیده ایم یا به آن فکر نکرده ایم. دیگران استدلال می‌کنند که ماشین‌ها به تنهایی چیزی را اختراع نمی‌کنند، آنها فقط می‌توانند فرمول‌هایی را که ما می‌شناسیم به روشی متفاوت نشان دهند، و اصلاً نمی‌توانند با برخی مسائل ریاضی کنار بیایند.

اخیراً گروهی از دانشمندان مؤسسه Technion در اسرائیل و گوگل ارائه کردند سیستم خودکار برای تولید قضایاآن را ماشین رامانوجان به نام ریاضیدان نامیدند سرینیواسی رامانوجاناکه هزاران فرمول پیشگامانه در تئوری اعداد را با آموزش رسمی کم یا بدون آموزش توسعه دادند. سیستم توسعه یافته توسط محققان تعدادی از فرمول های اصلی و مهم را به ثابت های جهانی تبدیل کرد که در ریاضیات ظاهر می شوند. مقاله ای در این زمینه در مجله Nature منتشر شده است.

یکی از فرمول های تولید شده توسط ماشین می تواند برای محاسبه مقدار ثابت جهانی به نام استفاده شود شماره کاتالان، کارآمدتر از استفاده از فرمول های کشف شده قبلی توسط انسان است. با این حال، دانشمندان ادعا می کنند که ماشین رامانوجان منظور این نیست که ریاضیات را از مردم دور کند، بلکه بیشتر به منظور کمک به ریاضیدانان است. با این حال، این بدان معنا نیست که سیستم آنها خالی از جاه طلبی است. همانطور که آنها می نویسند، ماشین "تلاش می کند تا از شهود ریاضی ریاضیدانان بزرگ تقلید کند و نکاتی را برای جستجوهای ریاضی بیشتر ارائه دهد."

این سیستم مفروضاتی را در مورد مقادیر ثابت های جهانی (مانند) که به صورت فرمول های ظریفی به نام کسر ادامه یا کسر ادامه دار نوشته شده است (1) ایجاد می کند. این نام روش بیان یک عدد واقعی به صورت کسری به شکل خاص یا حد این گونه کسرها است. کسر ادامه دار می تواند متناهی باشد یا بی نهایت ضریب داشته باشد._i/b_i; کسر A_k/B_k به دست آمده با دور انداختن کسرهای جزئی در کسر ادامه یافته، با شروع از (k + 1)th، کاهنده kth نامیده می شود و می توان آن را با فرمول محاسبه کرد:_-1= 1، A₀=b₀، ب_-1= 0، V₀= 1، A_k=b_kA_k-1+a_kA_k-2، ب_k=b_kB_k-1+a_kB_k-2; اگر دنباله احیاء به یک حد محدود همگرا شود، کسر ادامه یافته همگرا نامیده می شود، در غیر این صورت واگرا است. کسر ادامه دار را اگر حسابی می گویند_i= 1، ص₀ تکمیل شده، ب_i (i>0) - طبیعی؛ کسر ادامه حسابی همگرا می شود. هر عدد حقیقی به یک کسر حسابی ادامه می‌یابد که فقط برای اعداد گویا محدود است.

1. نمونه ای از نوشتن پی به صورت کسر ادامه دار

الگوریتم ماشین رامانوجان هر ثابت جهانی را برای سمت چپ و هر کسر ادامه دار را برای سمت راست انتخاب می کند و سپس هر ضلع را به طور جداگانه با کمی دقت محاسبه می کند. اگر به نظر می رسد که هر دو طرف همپوشانی دارند، مقادیر با دقت بیشتری محاسبه می شود تا اطمینان حاصل شود که تطابق یا نادرستی نیست. نکته مهم، در حال حاضر فرمول هایی وجود دارد که به شما امکان می دهد مقدار ثابت های جهانی را مثلاً با هر دقتی محاسبه کنید، بنابراین تنها مانع در بررسی انطباق صفحه، زمان محاسبه است.

قبل از اجرای چنین الگوریتم هایی، ریاضیدانان مجبور بودند از الگوریتم موجود استفاده کنند. دانش ریاضی i قضایاچنین فرضی را بکن به لطف حدس‌های خودکار ایجاد شده توسط الگوریتم‌ها، ریاضی‌دانان می‌توانند از آن‌ها برای بازسازی قضایای پنهان یا نتایج «ظریف‌تر» استفاده کنند.

قابل توجه ترین کشف محققان، دانش جدید آنقدر نیست که یک فرض جدید با اهمیت شگفت انگیز است. این اجازه می دهد محاسبه ثابت کاتالانیک ثابت جهانی که مقدار آن در بسیاری از مسائل ریاضی مورد نیاز است. بیان آن به عنوان یک کسر ادامه دار در فرضی که به تازگی کشف شده است، امکان سریع ترین محاسبات تا به امروز را فراهم می کند و فرمول های قبلی را که پردازش آنها در رایانه زمان بیشتری می برد، شکست می دهد. به نظر می رسد که از زمانی که کامپیوترها برای اولین بار شطرنج بازان را شکست دادند، این یک نقطه پیشرفت جدید برای علوم کامپیوتر است.

چیزی که هوش مصنوعی از عهده آن برنمی آید

الگوریتم های ماشینی همانطور که می بینید، آنها برخی کارها را به روشی نوآورانه و کارآمد انجام می دهند. در مواجهه با مشکلات دیگر، درمانده هستند. گروهی از محققان دانشگاه واترلو در کانادا دسته ای از مشکلات را با استفاده از آن کشف کردند فراگیری ماشین. این کشف با پارادوکسی مرتبط است که در اواسط قرن گذشته توسط ریاضیدان اتریشی کرت گودل توصیف شد.

ریاضیدان شای بن دیوید و تیمش یک مدل یادگیری ماشینی به نام پیش‌بینی حداکثر (EMX) را در نشریه‌ای در مجله نیچر ارائه کردند. به نظر می رسد که یک کار ساده برای هوش مصنوعی غیرممکن است. مشکل ایجاد شده توسط تیم شای بن دیوید پیش‌بینی سودآورترین کمپین تبلیغاتی با تمرکز بر خوانندگانی است که اغلب از سایت بازدید می‌کنند. تعداد احتمالات آنقدر زیاد است که شبکه عصبی با داشتن نمونه کوچکی از داده ها قادر به یافتن تابعی نیست که به درستی رفتار کاربران وب سایت را پیش بینی کند.

مشخص شد که برخی از مشکلات ایجاد شده توسط شبکه های عصبی معادل فرضیه پیوسته ارائه شده توسط جورج کانتور است. ریاضیدان آلمانی ثابت کرد که کاردینالیته مجموعه اعداد طبیعی کمتر از کاردینالیته مجموعه اعداد حقیقی است. سپس سؤالی پرسید که نتوانست پاسخ دهد. یعنی او تعجب کرد که آیا مجموعه ای نامتناهی وجود دارد که کاردینالیته آن کمتر از کاردینالیته باشد؟ مجموعه ای از اعداد واقعیاما قدرت بیشتر مجموعه اعداد طبیعی.

ریاضیدان اتریشی قرن XNUMX. کورت گودل ثابت کرد که فرضیه پیوستار در سیستم ریاضی فعلی غیرقابل تصمیم گیری است. اکنون مشخص شده است که ریاضیدانانی که شبکه های عصبی را طراحی می کنند با مشکل مشابهی روبرو شده اند.

بنابراین، اگرچه برای ما نامحسوس است، اما همانطور که می بینیم، در برابر محدودیت های اساسی درمانده است. دانشمندان تعجب می کنند که آیا با مشکلاتی از این کلاس، مانند مجموعه های نامتناهی، به عنوان مثال.