ویروس کرونا و آموزش ریاضی – مجموعه‌های سفارشی تا حدی

ویروسی که ما را آلوده کرده است باعث اصلاحات آموزشی سریع شده است. به خصوص در مقاطع بالاتر تحصیلی. می توان مقاله طولانی تری در مورد این موضوع نوشت؛ مطمئناً جریانی از پایان نامه های دکترا در مورد روش های آموزش از راه دور وجود خواهد داشت. از نقطه نظر معین، این بازگشت به اصل و عادات فراموش شده خودآموزی است. به عنوان مثال، در مدرسه راهنمایی کرمنتس (در کرمنتس، اکنون در اوکراین، که در 1805-31 وجود داشت، تا سال 1914 پوشش گیاهی داشت و اوج شکوفایی خود را در 1922-1939 تجربه کرد) چنین بود. دانش‌آموزان به تنهایی در آنجا درس می‌خواندند - فقط پس از آموختن، معلمان با اصلاحات، توضیحات نهایی، کمک در مکان‌های دشوار و غیره وارد شدند. د) وقتی دانشجو شدم هم گفتند خودمان باید علم کسب کنیم، کلاس های دانشگاه فقط قابل سفارش و ارسال است. ولی بعدش فقط یه تئوری بود...

در بهار 2020، من تنها کسی نبودم که متوجه شدم درس‌ها (از جمله سخنرانی‌ها، تمرین‌ها و غیره) را می‌توان به‌طور موثر از راه دور (Google Meet، تیم‌های مایکروسافت و غیره) به قیمت کار زیاد انجام داد. از طرف معلم و از طرف دیگر فقط میل "آموزش گرفتن"؛ اما همچنین با کمی آرامش: من در خانه، روی صندلی خود و در سخنرانی های سنتی نشسته ام، دانشجویان نیز اغلب کارهای دیگری انجام می دادند. تأثیر چنین آموزشی می تواند حتی بهتر از سیستم سنتی کلاس درس، که قدمت آن به قرون وسطی باز می گردد، باشد. وقتی ویروس به جهنم رفت چه چیزی از آن باقی خواهد ماند؟ فکر می کنم... خیلی زیاد. اما خواهیم دید.

امروز در مورد مجموعه های نیمه سفارش شده صحبت خواهم کرد. ساده است. از آنجایی که یک رابطه باینری در یک مجموعه غیر خالی X در صورت وجود رابطه مرتبه جزئی نامیده می شود

(تادئوش کوتاربینسکی، 1886-1981، فیلسوف،

رئیس آکادمی علوم لهستان در 1957-1962).

1. بازتابی، یعنی برای هر ∈ وجود دارد،
2. رهگذر، یعنی اگر "، و "، سپس "،
3. نیمه نامتقارن، یعنی. ("∧")→ =

یک ردیف مجموعه ای با ویژگی زیر است: برای هر دو عنصر، مجموعه ای از "یا y" است. آنتی زنجیره ای است ...

ایست ایست! آیا از این چیزی می توان فهمید؟ البته که هست. اما آیا هیچ یک از خوانندگان (که چیز دیگری نمی دانند) قبلاً فهمیده اند که اینجا چیست؟

فکر نکن! و این قانون آموزش ریاضیات است. همچنین در مدرسه. اول، یک تعریف درست و دقیق، و سپس، کسانی که از خستگی به خواب نمی روند، قطعاً چیزی خواهند فهمید. این روش توسط معلمان "بزرگ" ریاضیات تحمیل شد. او باید منظم و سخت گیر باشد. درست است که در نهایت باید اینگونه باشد. ریاضیات باید یک علم دقیق باشد (همچنین ببینید: ).

باید اعتراف کنم که در دانشگاهی که پس از بازنشستگی از دانشگاه ورشو در آن مشغول به کار هستم، سال ها نیز تدریس کردم. فقط در آن سطل آب سرد بدنام وجود داشت (بگذارید همینطور بماند: نیاز به یک سطل بود!). ناگهان انتزاع بالا سبک و دلپذیر شد. نکته را مشخص کنید: آسان به معنای آسان نیست. بوکسور سبک وزن نیز کار سختی دارد.

به خاطراتم لبخند خواهم زد من اصول ریاضی را توسط رئیس وقت دانشکده، ریاضیدان درجه یک که تازه از اقامت طولانی مدت در ایالات متحده آمده بود، آموختم، که در آن زمان به خودی خود چیز خارق العاده ای بود. فکر می‌کنم وقتی کمی لهستانی را فراموش کرد، کمی اسنوب بود. او از واژه‌های قدیمی لهستانی «آن»، «بنابراین»، «ازال» بیش از حد استفاده کرد و به این اصطلاح رسید: «رابطه نیمه نامتقارن». من عاشق استفاده از آن هستم، واقعا دقیق است. من دوست دارم. اما من این را از دانش آموزان نمی خواهم. این معمولاً "ضد تقارن کم" نامیده می شود. ده تا زیبا

مدتها پیش، زیرا در دهه هفتاد (قرن گذشته) اصلاح بزرگ و شادی آور در آموزش ریاضیات انجام شد. این مصادف بود با آغاز دوره کوتاه سلطنت ادوارد گیرک - گشایش قطعی کشور ما به جهان. معلمان بزرگ فریاد زدند: «به بچه ها می توان ریاضیات بالاتر را نیز آموزش داد. خلاصه ای از سخنرانی دانشگاه "مبانی ریاضیات" برای بچه ها گردآوری شد. این یک روند نه تنها در لهستان، بلکه در سراسر اروپا بود. حل معادله کافی نبود، همه جزئیات باید توضیح داده می شد. برای اینکه بی اساس نباشد، هر یک از خوانندگان می توانند سیستم معادلات را حل کنند:

اما دانش‌آموزان باید هر مرحله را توجیه می‌کردند، به اظهارات مربوطه مراجعه می‌کردند، و غیره. الان نقد کردن برایم آسان است. من هم زمانی از طرفداران این رویکرد بودم. هیجان انگیز است... برای جوانانی که به ریاضیات علاقه دارند. مطمئناً این بود (و به خاطر توجه، من).

اما به اندازه کافی انحراف غزلی، بیایید به اصل مطلب برسیم: سخنرانی ای که «از نظر تئوری» برای دانشجویان سال دوم پلی تکنیک در نظر گرفته شده بود و اگر نبود، مانند پوسته نارگیل خشک می شد. کمی اغراق میکنم...

صبح خوبی برای شما آرزو می کنم. موضوع امروز پاکسازی جزئی است. نه، این نشانه ای از تمیز کردن بی دقت نیست. مقایسه بهتر این است که در نظر بگیرید کدام بهتر است: سوپ گوجه فرنگی یا کیک خامه ای. پاسخ روشن است: بستگی دارد به چه چیزی. برای دسر - کوکی ها و برای یک غذای مغذی: سوپ.

در ریاضیات با اعداد سروکار داریم. آنها مرتب شده اند: آنها بیشتر و کمتر هستند، اما از دو عدد مختلف، یکی همیشه کمتر است، به این معنی که دیگری بزرگتر است. آنها به ترتیب مانند حروف الفبا مرتب شده اند. در گزارش کلاس، ترتیب می تواند این باشد: Adamczyk، Baginskaya، Chojnicki، Derkovsky، Elget، Filipov، Grzecnik، Kholnicki (آنها دوستان و همکلاسی های کلاس من هستند!). ما همچنین شک نداریم که ماتوسیاک «ماتوشلیانسکی» ماتوشفسکی «ماتیسیاک. نماد «نابرابری مضاعف» به معنای «پیش می‌آید».

در باشگاه پیاده‌روی من سعی می‌کنیم فهرست‌هایی را به ترتیب حروف الفبا تهیه کنیم، اما با نام، به عنوان مثال، آلینا ورونسکا "واروارا کازاروسکا"، سزار بوشیتز، و غیره. در گزارش‌های رسمی ترتیب معکوس می‌شود. ریاضیدانان ترتیب حروف الفبا را واژگانی می نامند (یک واژگان کم و بیش شبیه فرهنگ لغت است). از سوی دیگر، این ترتیب که در نامی متشکل از دو بخش (میکال زورک، آلینا ورونسکا، استانیسلاو اسمارزینسکی) ابتدا به قسمت دوم می پردازیم، برای ریاضیدانان نظمی ضد واژه شناسی است. عناوین طولانی، اما محتوای بسیار ساده.

1. نظم خطی: ایستگاه ها و توقف های مسیر راه آهن Habovka - Zakopane از Podhale، ساخته شده در 1899 (رمزگشایی اختصارات را به خواننده واگذار می کنم).

به همه این دستورات، سفارشات خطی می گویند. به ترتیب ترتیب می دهیم: اول، دوم، سوم. همه چیز مرتب است، از اولین نقطه تا آخرین. این همیشه منطقی نیست. از این گذشته ، ما کتاب ها را در کتابخانه نه اینگونه ، بلکه در بخش ها مرتب می کنیم. فقط در بخش ما آن را به صورت خطی (معمولاً بر اساس حروف الفبا) مرتب می کنیم.

2. ترتیب خطی: هنگام راه اندازی موتور خودرو، اقدامات را به ترتیب توافق شده انجام می دهیم.

با پروژه های بزرگتر، به خصوص کار گروهی، دیگر نظم خطی نداریم. بیایید نگاهی به شکل. 3. می خواهیم یک هتل کوچک بسازیم. ما قبلا پول داریم (سلول 0). ما مجوزها را تهیه می کنیم، مصالح را جمع آوری می کنیم، ساخت و ساز را شروع می کنیم و در عین حال یک کمپین تبلیغاتی انجام می دهیم، به دنبال کارمندان می گردیم و غیره و غیره. وقتی به «10» رسیدیم، اولین مهمانان می‌توانند ورود کنند (مثالی از داستان‌های آقای دامبروفسکی و هتل کوچکشان در حومه کراکوف). ما داریم نظم غیر خطی - بعضی چیزها می توانند به صورت موازی اتفاق بیفتند.

در اقتصاد، با مفهوم مسیر بحرانی آشنا می شوید. این مجموعه ای از اقدامات است که باید به صورت متوالی انجام شود (و در ریاضیات به آن زنجیره ای گفته می شود، بیشتر در یک لحظه)، و بیشترین زمان را می گیرد. کاهش زمان ساخت، سازماندهی مجدد مسیر بحرانی است. اما بیشتر در این مورد در سخنرانی های دیگر (اجازه دهید یادآوری کنم که من یک "سخنرانی دانشگاهی" دارم). ما روی ریاضیات تمرکز می کنیم.

نمودارهایی مانند شکل 3، نمودار هاس نامیده می شوند (هلموت هاسه، ریاضیدان آلمانی، 1898-1979). هر تلاش پیچیده ای باید در این راه برنامه ریزی شود. دنباله ای از اقدامات را می بینیم: 1-5-8-10، 2-6-8، 3-6، 4-7-9-10. ریاضیدانان آنها را ریسمان می نامند. کل ایده از چهار زنجیره تشکیل شده است. در مقابل، گروه های فعالیت 1-2-3-4، 5-6-7 و 8-9 آنتی زنجیره هستند. این چیزی است که آنها نامیده می شوند. واقعیت این است که در یک گروه خاص، هیچ یک از اقدامات به اقدامات قبلی بستگی ندارد.

4. این نیز یک نمودار Hasse است.

برویم به شکل 4. چه چیزی تاثیرگذار است؟ اما این می تواند یک نقشه مترو در یک شهر باشد! راه آهن های زیرزمینی همیشه در خطوط گروه بندی می شوند - آنها از یکی به دیگری نمی روند. خطوط، خطوط فردی هستند. در شهر، برنج. 4 بله کوره خط (به یاد داشته باشید که کوره املای "boldem" - در لهستانی به آن نیمه ضخیم می گویند).

در این نمودار (شکل 4) یک ABF زرد کوتاه، یک ACFKPS شش ایستگاه، یک ADGL سبز، یک DGMRT آبی و طولانی ترین قرمز وجود دارد. ریاضیدان خواهد گفت: در این نمودار هاس وجود دارد کوره زنجیر. روی خط قرمز است هفت ایستگاه: AEINRUV. آنتی زنجیره ها چطور؟ آنجا هستند هفت. خواننده قبلاً متوجه شده است که من دو بار زیر کلمه خط کشیدم هفت.

پیش بینی این مجموعه ای از ایستگاه ها است که دسترسی از هر یک از آنها به دیگری بدون انتقال غیرممکن است. هنگامی که کمی آن را "مشخص کنیم"، آنتی زنجیره های زیر را خواهیم دید: A، BCLTV، DE، FGHJ، KMN، PU، SR. لطفاً بررسی کنید، برای مثال، از هر یک از ایستگاه های BCLTV، امکان سفر به BCTLV دیگر بدون تغییر، یا دقیق تر: بدون نیاز به بازگشت به ایستگاه نشان داده شده در زیر وجود ندارد. چند آنتی زنجیره وجود دارد؟ هفت. بزرگ ترین سایزی چیست؟ پختن (دوباره به صورت پررنگ).

شما دانش آموزان می توانید تصور کنید که همزمانی این اعداد تصادفی نیست. این. این موضوع در سال 1950 توسط رابرت پالمر دیلوورث (1914-1993، ریاضیدان آمریکایی) کشف و اثبات شد (یعنی همیشه درست است). تعداد خطوط مورد نیاز برای پوشاندن کل مجموعه برابر با اندازه بزرگترین آنتی زنجیره است و بالعکس: تعداد آنتی زنجیره ها برابر با طول طولانی ترین آنتی زنجیره است. این همیشه در یک مجموعه جزئی مرتب شده رخ می دهد، یعنی. یکی که قابل تجسم است. نمودار هاسگو. این یک تعریف کاملا دقیق و درست نیست. این همان چیزی است که ریاضیدانان آن را "تعریف کاری" می نامند. این تا حدودی با "تعریف کاری" متفاوت است. این یک راهنمایی در مورد نحوه درک مجموعه های نیمه مرتب شده است. این بخش مهمی از هر آموزشی است: ببینید چگونه کار می کند.

مخفف انگلیسی این است - این کلمه در زبان های اسلاوی زیبا به نظر می رسد، کمی شبیه خار. لطفا توجه داشته باشید که خارها نیز منشعب هستند.

بسیار زیبا، اما چه کسی به آن نیاز دارد؟ شما دانش آموزان عزیز برای قبولی در امتحان به آن نیاز دارید و احتمالاً این دلیل کافی برای مطالعه آن است. دارم گوش میدم، چه سوالاتی؟ آقا از زیر پنجره دارم گوش میدم. اوه، سوال این است که آیا این هرگز در زندگی شما برای خداوند مفید خواهد بود؟ شاید نه، اما برای فردی باهوش تر از شما مطمئنا... شاید برای تحلیل مسیر بحرانی در یک پروژه پیچیده اقتصادی؟

این متن را در اواسط ژوئن می نویسم؛ انتخابات ریاست دانشگاه در دانشگاه ورشو در حال انجام است. من چندین نظر از کاربران اینترنت را خوانده ام. مقدار شگفت انگیزی از نفرت (یا "نفرت") نسبت به "افراد تحصیل کرده" وجود دارد. یک نفر صراحتاً نوشت که افراد دارای تحصیلات دانشگاهی کمتر از کسانی که تحصیلات دانشگاهی دارند می دانند. من البته وارد بحث نمی شوم. من فقط ناراحتم که این عقیده غالب در جمهوری خلق لهستان مبنی بر اینکه همه چیز را می توان با چکش و اسکنه انجام داد در حال بازگشت است. دارم برمیگردم به ریاضی

قضیه دیلوورث چندین برنامه کاربردی جالب دارد. یکی از آنها به قضیه ازدواج معروف است.شکل. 6). 

گروهی از زنان (به احتمال زیاد دختران) و گروه کمی بزرگتر از مردان وجود دارد. هر دختری چیزی شبیه به این فکر می کند: "من می توانستم با این یکی، این یکی، این یکی ازدواج کنم، اما هرگز در زندگی ام با سومی ازدواج نکردم." و به همین ترتیب، هر کسی ترجیحات خود را دارد. ما نموداری را ترسیم می کنیم که به هر یک از آنها پیکانی از مردی که او به عنوان نامزد محراب رد نمی کند منجر می شود. سوال: آیا می توان زوج ها را طوری جور کرد که هر کدام شوهری را که می پذیرد پیدا کنند؟

قضیه فیلیپ هال، می گوید که می توان این کار را انجام داد - مشروط به شرایط خاصی که من در اینجا در مورد آن صحبت نمی کنم (سپس در سخنرانی بعدی، دانشجویان لطفا). البته توجه داشته باشید که رضایت مرد در اینجا اصلا ذکر نشده است. همانطور که می دانید، این زنان هستند که ما را انتخاب می کنند، و نه برعکس، همانطور که ما فکر می کنیم (اجازه دهید یادآوری کنم که من نویسنده هستم، نه نویسنده).

کمی ریاضی جدی قضیه هال چگونه از دیلوورث پیروی می کند؟ خیلی ساده است. بیایید دوباره به شکل 6 نگاه کنیم. زنجیرها در آنجا بسیار کوتاه هستند: طول آنها 2 است (در جهت حرکت می کنند). مجموعه ای از مردان کوچک یک ضد زنجیر است (دقیقاً به این دلیل که فلش ها فقط به سمت یکدیگر نشانه می روند). به این ترتیب می توانید کل مجموعه را با تعداد مردان آنتی زنجیر بپوشانید. بنابراین، هر زن یک تیر خواهد داشت. این بدان معناست که او ممکن است به نظر پسری باشد که قبول می کند!!!

صبر کن، یکی می پرسد، همین است؟ آیا این کل برنامه است؟ هورمون ها به نوعی با هم کنار می آیند و چرا ریاضی؟ اولاً، این کل برنامه نیست، بلکه تنها یکی از یک سری بزرگ است. بیایید به یکی از آنها نگاه کنیم. اجازه دهید (شکل 6) به معنای نمایندگان جنس بهتر نیست، بلکه خریداران متعصب هستند، و اینها مارک هایی هستند، به عنوان مثال، اتومبیل، ماشین لباسشویی، محصولات کاهش وزن، پیشنهادات آژانس های مسافرتی و غیره. هر خریدار مارک هایی دارد که آنها را می پذیرد. و رد می کند. آیا کاری وجود دارد که بتوان چیزی را به همه فروخت و چگونه؟ اینجاست که نه تنها شوخی ها، بلکه دانش نویسنده مقاله در مورد این موضوع به پایان می رسد. تنها چیزی که می دانم این است که تجزیه و تحلیل بر اساس برخی ریاضیات بسیار پیچیده است.

تدریس ریاضی در مدرسه آموزش الگوریتم است. این بخش مهمی از آموزش است. اما کم کم داریم به سمت آموزش نه آنقدر ریاضی که روش ریاضی می رویم. سخنرانی امروز فقط درباره این بود: ما در مورد ساختارهای ذهنی انتزاعی صحبت می کنیم، ما به زندگی روزمره فکر می کنیم. در مورد زنجیر و آنتی زنجیر در مجموعه هایی با روابط معکوس، گذرا و غیره صحبت می کنیم که در مدل های خریدار-فروشنده استفاده می کنیم. کامپیوتر تمام محاسبات را برای ما انجام خواهد داد. او هنوز مدل های ریاضی ایجاد نخواهد کرد. ما همچنان با تفکرمان پیروز هستیم. در هر صورت امیدوارم تا جایی که ممکنه!